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课件网) 第五章 四边形 微专题四 对角互补模型 模型1 含 90°的全等型 模型2 含120° ，60° 的全等型 1.对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补， 而且有一组邻边相等的几何模型. 2.思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点作双 垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等. 模型1 含 90°的全等型 情形1 “共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件 如图，已知 ，平分 . 图示 _____ _____ _____ 结论 ； ； . 续表 1.如图，点在第一象限的角平分线上， ， 点在轴正半轴上，点在 轴正半轴上. （1）求点 的坐标; 解： 点在第一象限的角平分线 上， ，， . （2）当绕点 旋转时， ① 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出 这个定值. 不变； . 解：不变. 过点作轴于点，于点 . ， ， 四边形 是正方形， ， . 在和中 ， ， ， ②请求出 的最小值. 的最小值为8. 【解析】连接， ， ， ， ， ，当最小时， 也最小. 根据垂线段最短原理， 最小值为2， 的最小值为8. 情形2 “斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件 如图，已知的一边与的延长线交于点 ， ，平分 . 图示 _____ _____ _____ 结论 ；； . 2.提出问题：如图1，已知平分，点,分别在， 上.若 ，求证： . 思路梳理： （1）请根据思路梳理的过程填空. 证法1：由平分，， ，可得 _____，则 . 证法2：由平分， ，得 ，其理论 依据是_____. 角平分线上的点到角的两边距离相等 【解析】证法1：如原题图1，平分， ， 在和中， ， . 故答案为 . 证法平分， ， （角平分线上的点到角的两边距离相等）. 故答案为角平分线上的点到角的两边距离相等. 类比探究： （2）如图2，已知平分，点,分别在， 上.若 ，求证： . 证明：如图，过点作于点，于点 ， ， , . 点在的平分线上，且， ， . ，， . 拓展迁移： （3）如图3，已知平分，点在的反向延长线上，点在 上， 且，若，，点到 的距离是3，则 的值是___.（直接写出结果，不说明理由） 8 解：如图3，过点作于点， 于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是的平分线上，且， ， ， ，， ， ， ， 又, ， ，， ， .故答案为8. 模型2 含120° ，60° 的全等型 情形1 条件 如图，已知 ，平分 . 图示 _____ _____ _____ 结论 ；； . 3.若四边形满足 ，则我们称该四边形为“对角互补 四边形”. （1）四边形为对角互补四边形，且，则 的 度数为 ____； 90 解： 四边形 为对角互补四边形， ， ， ， ， ，故答案为 . （2）如图1，四边形为对角互补四边形， ， . 求证：平分 . 小云同学是这么做的：延长至，使得，连接 ，可证明 ，得到是等腰直角三角形，由此证明出 平分 ，还可以知道，， 三者关系为_____； 【解析】，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，故答案为 . （3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足 ， ，试证明： ①平分 ； 证明：延长至，使，连接 ， 四边形 为对角互补四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，，平分 . ② ； ，， ， . （4）如图3，四边形为对角互补四边形，且满足 ， ，则，， 三者关系为_____. 【解析】延长至，使 ，连接 ， 四边形 为对角互补四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， . 过点作交于点，为的中点， ，在 中，， ， .故答案为 . 情形2 条件 如图，已知 ，平分， 的一 边与的延长线交于点 . 图示 _____ _____ _____ 结论 ；； . 4.如图，已知 ，在的平分线上有一点，一个 角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线,相交于点, . （1）当绕点旋转到与垂直时（如图1），请猜想 与 的数量关系，并说明理由； 解：是的角平 ... ...
