4.2 提公因式法 学案(2课时,含简略答案)2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第2课时　公因式为多项式的因式分解 @预习导航 1.公因式为多项式的因式分解 规　　律：当公因式为多项式时，只需运用　　思想将公因式视为一个字母，即可运用提公因式法进行因式分解。 2.互为相反数的幂的关系 规　　律：（1）（x－y）2n＝　　（y－x）2n（n为正整数）； （2）（x－y）2n＋1＝　　（y－x）2n＋1（n为正整数）。 @归类探究 类型之一　公因式为多项式的因式分解 　把下列各式因式分解： （1）5（x－y）3＋10（y－x）2； （2）（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）·（8b－7a）； （3）x（x－y）（a－b）－y（y－x）（b－a）。 【点悟】 （1）提取公因式后，若括号里合并同类项后的项有公因式应再次提取；（2）注意符号的变换：y－x＝－（x－y）。 类型之二　先因式分解再求值 　先因式分解，再求值： （1）（a＋b）（a－b）－（a－b）2，其中a＝1，b＝－； （2）a（a－b）＋c（b－a），其中a＝－2，b＝8，c＝－12。 @当堂测评 1.把2（x－3）＋x（3－x）提取公因式x－3后，另一个因式是（　　） A.x－2 B.x＋2 C.2－x D.－2－x 2.把多项式m2（a－2）＋m（2－a）因式分解的结果是（　　） A.（a－2）（m2＋m） B.（a－2）（m2－m） C.m（a－2）（m－1） D.m（a－2）（m＋1） 3.在下列各横线上填上“＋”或“－”，使等式成立。 （1）3＋a＝　　（a＋3）； （2）1－x＝　　（x－1）； （3）－m2＋2n2＝　　（m2－2n2）； （4）（x－y）2＝　　（y－x）2； （5）（x－y）3＝　　（y－x）3。 @分层训练 1.把多项式a（x－y）＋b（y－x）因式分解的结果是（　　） A.（a－b）（x－y） B.（a＋b）（x－y） C.（a＋b）（y－x） D.（a－b）（y－x） 2.因式分解：x（y－1）＋4（1－y）＝　　。 3.把下列各式因式分解： （1）2（a－b）－a（b－a）； （2）x（x－y）5＋xy（y－x）4－x3（y－x）3； （3）2y（x－2y）（3x－2y）－3x（2y－3x）（2y－x）。 4.[2025·本溪期中]先因式分解，再求值：4a（b－2）＋3a（2－b）2，其中a＝，b＝6。 5.若（19x－31）（13x－17）－（17－13x）·（11x－23）可因式分解成（ax＋b）（30x＋c），其中a，b，c均为整数，求a＋b＋c的值。 6.（1）因式分解：（x－y）（3x－y）＋2x（3x－y）。 （2）设y＝kx，是否存在实数k，使得上式的化简结果为x2？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由。 7.（模型观念、推理能力）（1）因式分解多项式1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋x（1＋x）3，你发现了什么规律？ （2）利用你发现的规律直接写出因式分解多项式1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋…＋x（1＋x）2024的结果。 参考答案 【预习导航】 1.整体　2.＋　－ 【归类探究】 【例1】 （1）5（x－y）2（x－y＋2） （2）8（7a－8b）（b－a）　（3）（x－y）2（a－b） 【例2】 （1）－　（2）－100 【当堂测评】 1.C　2.C　3.（1）＋　（2）－　（3）－　（4）＋　（5）－ 【分层训练】 1.A　2.（y－1）（x－4） 3.（1）（a－b）（2＋a）　（2）x2（x－y）3（2x－y） （3）－（x－2y）（3x－2y）2 4.原式a（2－3b）（2－b）。当a＝，b＝6时，原式＝96。 5.a＋b＋c＝－58 6.（1）（3x－y）2　（2）k＝4或2 7.（1）原式＝（1＋x）4。 规律：1＋x＋x（1＋x）＋x（1＋x）2＋x（1＋x）3＋…＋x（1＋x）n＝（1＋x）n＋1。 （2）原式＝（1＋x）2025。2　提公因式法 第1课时　公因式为单项式的因式分解 @预习导航 1.公因式的概念 公因式：我们把多项式各项都含有　　的因式，叫作这个多项式各项的公因式。 注　　意：公因式可以是式子，也可以是数。 2.确定公因式的方法 归　　纳：确定一个多项式各项的公因式时，要对系数和字母分别进行考虑。 （1）对于系数，如果是整数系数，取各项系数的最大公约 ... ...