中小学教育资源及组卷应用平台 2026年中考数学一轮复习精讲精练 第三章 函数 3.3二次函数的图象与性质 二次函数的图象与性质 定义 形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做x的二次函数. y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 a>0 a<0 开口向上；|a|越大，开口越小 开口向下；|a|越大，开口越小 对称轴是 顶点坐标是. 当x<时，y随x的增大而减小; 当x>时，y随x的增大而增大, 简记为左减右增. 当x<时，y随x的增大而增大; 当x>时，y随x的增大而减小, 简记为左增右减. 抛物线有最低点, 当x=时，y有最小值，y最小值=. 抛物线有最高点, 当x=时，y有最大值，y最大值=. y=a(x-h)2+k的图象和性质 a>0 a<0 抛物线开口向上 抛物线开口向下 对称轴是，顶点坐标是. 当x<时，y随x的增大而减小； 当x>h时，y随x的增大而增大, 简记为左减右增. 当xh时，y随x的增大而减小, 简记为左增右减. 抛物线有最低点 当x=h时，y有最小值,y最小值=k. 抛物线有最高点 当x=h时，y有最大值,y最大值=k. 平移规律 （1）将抛物线解析式化成顶点式y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（h，k）． （2）保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 【注意】二次函数平移遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 二次函数的解析式的确定 （1）当已知抛物线上任意三点时，通常将函数的解析式设为一般式：y=ax2+bx+c(a≠0); （2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0). （3）当已知抛物线与x轴的两个交点时，通常将函数的解析式设为交点式：y=a（x–x1）（x–x2）(a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标. 【题型一】二次函数的概念与表达式 【例1.1】（2025 普陀区三模）下列函数中，y关于x的二次函数的是（ ） A． B．y＝2x C．y＝（x+2）2 D．y＝ax2+bx+c 【例1.2】（2025 宿城区校级一模）若函数y＝（k﹣2）x|k|+3x+1表示y是x的二次函数，则k的值为 ﹣ ． 【例1.3】（2025 温州模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2（，n为常数）． （1）若函数图象经过点（3，5）． ①求二次函数的表达式． ②若点A（﹣3，p），B（t，q）都在该二次函数的图象上，当p＞q时，求t的取值范围． （2）当1≤x≤3时，y有最大值为﹣5，求m的值． 【题型二】二次函数的图象与性质 【例2.1】（2025 甘孜州）对于抛物线y＝2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（ ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为（1，3） C．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 【例2.2】（2023 望江县模拟）下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【例2.3】（2025 温州模拟）在平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（1，4），C（4，4），D（4，1），二次函数表达式为y＝x2﹣2mx+m2，若该函数的图象与四边形ABCD的边有交点，则m的最大值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2.4】（2025 西湖区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，a≠0）的图象经过点（t，y1），（t+1，y2），（ ） A．若a＞0，t＞2，则y1＜y2 B．若a＞0，t＜2，则y1＞y2 C．若a＜0，t＞2，则y1＜y2 D．若a＜0，t＜2，则y1＞y2 【例2.5】（2025 大理州二模）已知二次函数y＝ax2﹣4x+a2﹣1（a是常数且a＞0）． （1）若a＝2，求出该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数图象经过原点，当﹣1≤x≤t时，函数的最大值恰好是4t，求t的值． 【题型三】二次函数的图象与系数的关系 【例3.1】（2025 ... ...
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