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课件网) 第一章 三角形的证明 5 角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 探究与应用 课堂小结与检测 【探究1】 角平分线的性质定理的证明 探究与应用 我们曾经探索过角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.请你尝试证明这一结论,并与同伴进行交流. 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E, ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∵∠1=∠2,OP=OP, ∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证:PD=PE. 【探究1】 角平分线的性质定理的证明 探究与应用 【概括新知】 角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 符号语言表示: ∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PD=PE. 说明:应用角平分线的性质定理必须具备的条件:两垂直,一平分. 【探究2】 角平分线的判定定理的证明 探究与应用 【尝试·思考】 你能写出“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”这个定理的逆命题吗 它是真命题吗 请你证明自己结论的正确性. 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中,OP=OP,PD=PE, ∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL), ∴∠1=∠2, ∴OP平分∠AOB. 已知:如图,在∠AOB的内部有一点P,且PD⊥OA,PE⊥OB,D,E为垂足,且PD=PE. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 【探究2】 角平分线的判定定理的证明 探究与应用 【概括新知】 角平分线的判定定理:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 用符号语言表示: ∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴点P在∠AOB的平分线上. 说明:应用角平分线的判定定理必须具备的条件:两垂直,一相等. 【探究2】 角平分线的判定定理的证明 探究与应用 例 (教材例1)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,点D在BC上,AD=10,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求DE的长. 解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF, ∴AD平分∠BAC. 又∵∠BAC=60°,∴∠BAD=30°. 在Rt△ADE中,∠AED=90°,AD=10, ∴DE=AD=×10=5. 【拓展提升】 探究与应用 如图,∠1=∠2,AE⊥OB于点E,BD⊥OA于点D,AE与BD相交于点C. 求证:AC=BC. 解：∵∠1=∠2，CE⊥OB于E，CD⊥OA于D， ∴CD=CE．∠CDA=∠CEB=90°， 在△ACD和△BCE中， ∠CDA=∠CEB，CD=CE，∠DCA=∠ECB（对顶角相等）， ∴△ACD≌△BCE（ASA）， ∴AC=BC． 达标测评 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是∠ABC的平分线,交AC于点D,若CD=n,AB=m,则△ABD的面积是 ( ) A.mn B.mn C.2mn D.mn B 课堂小结与检测 达标测评 2.某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力,拟在两条景观道OM,ON之间(即∠MON内部)的开阔地修建一所红十字救助站P,使其到景观道OM,ON的距离相等,同时到A,B两个休息亭的距离也相等,试确定救助站P的位置. 课堂小结与检测 解：由题知，点P既在∠MON的角平分线上，又在线段AB的垂直平分线上． 达标测评 3.如图 ,已知BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D,若BD=CD.求证:AD平分∠BAC. 课堂小结与检测 解：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠BFD=∠CED=90°． 在△BDF和△CDE中，, ∴△BDF≌△CDE(AAS)，∴DF=DE． ∴点D在∠BAC的平分线上． ∴AD平分∠BAC． 第一章 三角形的证明 5 角平分线 第2课时 角平分线的应用 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 思考： (1)角平分线的性质. (2)角平分线的性质定理的逆定理. (3)作三角形的三个内角的平分线,你发现了什么 知识关联 解 ：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. （2）在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. （3）三角形的三个内角的平分线交于一点。 【探究1】 角的平分线应用 探究与应用 例1 (教材例 ... ...
