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课件网) 3.2.1 双曲线及其标准方程 双曲线型自然通风冷却塔 生活中的双曲线 定位导航 声音、信号时差测定位 利用声波或电磁波到达两点的时间差来确定点的位置的方法 思考：类比椭圆的研究过程，我们应按怎样的路径研究双曲线呢？ 温故知新 方程 性质 概念 背景 应用 平面内与两个定点F1，F2的距离的和为常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆. 复习：椭圆的定义是什么？ 温故知新 如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点. 在平面内, 取定点F1 , F2, 以点F1为圆心、线段PA为半径作圆, 再以F2 为圆心、线段PB为半径作圆. 信息技术探究 当点P在线段AB上运动时，如果 ||PA|-|PB|| < |F1F2|<|AB|， 那么两圆相交， 信息技术探究 其交点M的轨迹是椭圆. 因为|AB|为定长，记|AB|=2a， 探究1：如图，在|AB|<|F1F2|< |PA|+|PB|的条件下，让点P在 线段AB外运动，这时动点M满足 什么几何条件？ 得||MF1| - |MF2||=2a( 0<2a<|F1F2|) 两圆的交点M的轨迹是什么形状？ 探究新知 由||PA| - |PB||=2a 探究新知 探究1.1 ：当点P在点B的右侧运动时， |MF1| -|MF2|=2a ( 0<2a<|F1F2|) 点M的轨迹是靠近点F2的一支曲线. 探究1.2 ：当点P在点A的左侧运动时， |MF2| -|MF1|=2a ( 0<2a<|F1F2|) 点M的轨迹是靠近点F1的一支曲线. 探究新知 ||MF1| -|MF2||=2a ( 0<2a<|F1F2|) 探究1：两圆的交点M的轨迹是什么形状？ 双曲线 两支曲线 探究新知 符号语言： ||MF1| - |MF2||=2a ( 0<2a<|F1F2|) 思考 定义中需要注意什么 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 形成概念：双曲线的定义 (4)若常数, 则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平 分线. 则点M的轨迹是双曲线的一支. 则点M的轨迹是以F1、F2为端点向外的两条射线. 则点M的轨迹不存在. (1)定义中去掉绝对值， (2)若常数, (3)若常数, 定义辨析：改变定义中的条件，点M的轨迹是什么？ 对称性 F1 O F2 M 探究2：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 观察双曲线的几何特征 探究新知 如图，取经过两焦点F1和F2的直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系Ox. x y F1 O F2 M 设M (x, y)是双曲线上任意一点 , 双曲线的焦距为2c(c >0)，则焦点坐标为F1(-c, 0), F2(c ,0) . 推导方程--①建系设点 x y F1 O F2 M 推导方程--②列式化简 令b2=c2-a2(b>0) P= {M |||MF1| - |MF2||=2a ( 0<2a<|F1F2|)} ① (c2-a2 )x2 - a2 a2(c2-a2 ) ② x y F1 O F2 M 推导方程--③检验：曲线与方程的等价性 令b2=c2-a2(b>0) P= {M |||MF1| - |MF2||=2a ( 0<2a<|F1F2|)} ① (c2-a2 )x2 - a2 a2(c2-a2 ) ② x y F1 O F2 M 思考：你能在y轴上找一点B，使得|OB|=b 吗？ 能，此时B的坐标为( 0,b )或(0,-b). 推导方程--③检验：曲线与方程的等价性 ② 焦点在轴上的双曲线的标准方程为 焦点分别是F1 (-c, 0 ), F2(c, 0 )，这里c2=a2+b2． x y O F1 F2 M 双曲线的标准方程 F1 F2 思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？ 双曲线的焦距为 2c ，焦点分别是 F1（0 ，-c），F2（0 ，c）． a ，b 的意义同上，这时焦点在轴上的双曲线的标准方程是： 如图， x y M 双曲线的标准方程 F ( ±c, 0) F ( 0,±c ) 焦点在x轴上的双曲线 焦点在轴上的双曲线 双曲线的标准方程 图象 方程 焦点 a,b,c 的关系 焦点位置 曲线 椭 圆 双曲线 定义 a,b,c关系 标准方程 焦点在x轴上 焦点在轴上 焦点在x轴上 焦点在轴上 比较椭圆、双曲线的标准方程 ②双曲线看符号：谁的系数为正，焦 ... ...
