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课件网) 4.5.2 用二分法求 方程的近似解 1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想. 【课程标准要求】 必备知识·归纳落实 知识点一 二分法 知识归纳 对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. f(a)f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点 ·疑难解惑· (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理. (2)用二分法只能求变号零点,即零点左右两侧的函数值的符号相反,比如y=x2,该函数有零点为0,但不能用二分法求解. 知识点二 用二分法求函数零点的近似值 给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下: 1.确定零点x0的初始区间[a,b],验证 . 2.求区间(a,b)的中点 . 3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间: (1)若f(c)=0(此时x0=c),则 就是函数的零点; (2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈ ),则令b=c; (3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈ ),则令a=c. 4.判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2～4. f(a)f(b)<0 (a,c) c c (c,b) ·疑难解惑· (1)初始区间要包含函数的变号零点. (2)精确度ε表示停止二分时区间的长度小于ε. ·轻松记忆· 定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么办 精确度上来判断. 1.下列函数中不能用二分法求零点的是( ) [A]y=3x-1 [B]y=x3 [C]y=|x| [D]y=ln x 基础自测 C 2.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T1改编)下列函数图象与x轴均有交点,但不能用二分法求交点横坐标的是( ) B [A] [B] [C] [D] 【解析】 由题意可知,二分法求零点要求函数的图象连续不断且满足函数零点存在定理,即f(a)f(b)<0成立,对比选项可知,A,C,D均符合题意,但选项B中f(a)f(b)≥0恒成立,不满足函数零点存在定理,故B错误.故选B. C 4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表: f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为 ( ) [A]1.5 [B]1.375 [C]1.437 5 [D]1.25 C 【解析】 因为f(1.406 25)<0,f(1.437 5)>0,所以f(1.406 25)f(1.437 5)<0,所以该方程的解在区间(1.406 25,1.437 5)内, 又因为|1.406 25-1.437 5|=0.031 25<0.05,所以方程的近似解可以是1.437 5.故选C. 关键能力·素养培优 题型一 对二分法概念的理解 [例1] 已知f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出零点的近似值,则c的值是 ( ) [A]9 [B]8 [C]7 [D]6 【解析】 依题意可知,x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则Δ=36-4c=0,所以c=9.故选A. A ·解题策略· 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断. (2)在该零点左、右两侧的函数值异号. ABC 题型二 用二分法求函数零点的近似值 [例2] 已知方程2x+2x=5. (1)判断该方程解的个数以及所在区间; 【解】 (1)令f(x)=2x+2x-5.因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.即原方程的解有且仅有1个,并在区间(1,2)内. (2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1). 参考数据: x 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.48 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 【解】(2)用二分法逐次计算,列表如下: 区间 中点的值 中点函数近似值 (1,2) 1.5 0.83 (1,1.5) 1.25 -0.12 (1.25,1.5) 1.375 0.34 (1.25,1.375) 1.312 5 0.105 因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.3 ... ...
