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课件网) 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定,提升数学抽象的核心素养.2.通过判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 【课程标准要求】 必备知识·归纳落实 知识点一 全称量词命题的否定 知识归纳 全称量词命题 全称量词 命题的否定 结论 x∈M,p(x) 全称量词命题的 否定是 命题 x∈M,﹁p(x) 存在量词 知识点二 存在量词命题的否定 存在量词命题 存在量词 命题的否定 结论 x∈M,p(x) 存在量词命题的 否定是 命题 x∈M,﹁p(x) 全称量词 ·知识辨析· 常见正面词语的否定举例: 正面词语 等于(=) 大于(>) 小于 (<) 是 都是 否定 不等于(≠) 不大于 (≤) 不小于(≥) 不是 不都是 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多 有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有 n+1个 基础自测 1.命题“ x>2,x2+1≤0”的否定是( ) [A] x≤2,x2+1≥0 [B] x>2,x2+1>0 [C] x≤2,x2+1>0 [D] x>2,x2+1≥0 B 【解析】 由题意知,“ x>2,x2+1≤0”的否定为“ x>2,x2+1>0”.故选B. 2.设命题p: x∈Z,x2≥6x+5,则p的否定为( ) [A] x Z,x2<6x+5 [B] x Z,x2<6x+5 [C] x∈Z,x2<6x+5 [D] x∈Z,x2<6x+5 C 【解析】 p的否定为“ x∈Z,x2<6x+5”.故选C. 3.命题“小数都是无理数”的否定为( ) [A]所有小数都不是无理数 [B]有些小数是无理数 [C]有些小数不是无理数 [D]所有小数都是无理数 C 【解析】 原命题为全称量词命题,其否定为“有些小数不是无理数”.故选C. 4.(人教A版必修第一册P32习题1.5 T4改编)下列命题的否定为真命题的是 ( ) [A]对任意的x∈R, x2≥0 [B]所有的正方形都是矩形 [C]至少有一个实数x,使x+1=0 [D]存在x∈R,x2+2≤0 D 【解析】 A,B,C都是真命题,其否定是假命题;D是假命题,其否定为真命题.故选D. 关键能力·素养培优 [例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假. (1) x∈R,x2+2x+5>0; 题型一 全称量词命题的否定 【解】 (1)该命题的否定: x∈R,x2+2x+5≤0.因为x2+2x+5=(x+1)2+4>0,所以原命题为真命题,其否定为假命题. (2)菱形的对角线互相垂直; (3)方程x2-8x-20=0的每一个根都不是奇数. 【解】 (2)该命题的否定:至少存在一个菱形,它的对角线不互相垂直.因为所有菱形的对角线均互相垂直,所以原命题为真命题,其否定为假命题. 【解】 (3)该命题的否定:方程x2-8x-20=0至少有一个根是奇数.因为方程的两个根为-2,10,都不是奇数,所以原命题为真命题,其否定为假命题. ·解题策略· (1)对全称量词命题否定的两个步骤. ①改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词. ②否定结论:原命题中的“是”“成立”等分别改为“不是”“不成立”等. ·解题策略· (2)全称量词命题否定后的真假判断方法. 若全称量词命题为真命题,则其否定就是假命题;若全称量词命题为假命题,则其否定就是真命题.任何一个命题和它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能一真一假. 提醒:对于省略量词的命题写其否定时,要注意添加相应的量词. [变式训练] 写出下列全称量词命题的否定,并判断原命题及其否定的真假. (1) x∈R,2x+1>0; 【解】 (1)该命题的否定: x∈R,2x+1≤0.当x=-1时,2x+1=-1≤0,所以原命题为假命题,其否定为真命题. (2)每个三角形至少有两个锐角; 【解】 (2)该命题的否定:存在一个三角形至多有一个锐角.原命题为真命题,其否定为假命题. (3)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线; 【解】 (3)该命题的否定:存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.根据圆的切线的定义可知,原命题为真命题,其否定为假命题. (4)末位 ... ...
