专题二 尺规作图 第32讲 尺规作图 1.能根据题意，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成几种基本的尺规作图. 2.利用基本作图方法，结合几何图形的性质，探究所得图形的某些基本特性. 1.(2025·陕西)如图，已知∠AOB＝50°，点C在边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB(保留作图痕迹，不写作法). 解：如图，点P即为所求. 2.(1)如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE＋EP＝AC(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的图中，如果AC＝5 cm，AP＝3 cm，那么△APE的周长是 8 cm. 解：(1)如图，点E即为所求. (2)[提示]由作图可知 EP＝EC， ∴△APE的周长为AP＋AE＋EP＝AP＋AE＋EC＝AP＋AC＝3＋5＝8(cm). 3.如图，在等腰三角形OAB中，OA＝OB. (1)在线段AB(不含端点)上找到一个点P，使得△OAP∽△BAO； (2)在(1)的条件下，若OA＝6，AB＝9，求PB的长. 解：(1)如图，点P即为所求. (2)∵△OAP∽△BAO， ∴.∴AP＝4.∴PB＝9－4＝5. 4.已知：如图，在△ABC中，点D为AC边上的一点. (1)过点D作直线DE∥BC，交线段AB于点E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)所作的图形中，若＝3，求的值. 解：(1)如图，直线DE即为所求. (2)∵DE∥BC，＝3，∴＝3. ∴AE＝3EB. ∴. 5.【问题背景】无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段.在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点，再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可. 【问题探究】如图①，已知平行四边形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF，连接EF，仅用无刻度直尺在EF上画点O，使点O为EF的中点.操作方法是：连接AC，则AC与EF的交点即为点O. 理由如下： 连接AF，CE，如图②. 在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD. ∵BE＝DF，∴AE＝CF. 又CF∥AE， ∴四边形AECF为平行四边形(依据是 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ). ∴OE＝OF.∴O为EF的中点. 【问题解决】如图③，已知菱形ABCD，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺在AD上画点G，使AG＝AE，并说明作法的正确性(不写作法，保留作图痕迹). 解：如图③，点G即为所求.理由如下： 设AC与DE的交点为O. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC. 又AO＝AO， ∴△DAO≌△BAO(SAS). ∴∠ADE＝∠ABG. 又∠BAG＝∠DAE， ∴△BAG≌△DAE(ASA). ∴AG＝AE. 6.(1)如图，已知 ABCD，利用无刻度的直尺和圆规作图得到新的四边形EBFD，根据作图痕迹可判断四边形EBFD是 菱形 (填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方形”). (2)如图，在下列网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程请用虚线表示，画图的结果请用实线表示. ①在图①中，M，N的端点均在格点上，作出线段MN的中点P； ②在图②中，作出△ABC的中位线MN，使得点M在AB上，点N在AC上； ③在图③中，作平行四边形ABCE，点D是边AB与网格线的交点，过点D作直线平分四边形ABCE的周长. 解：①如图①所示，点P即为所求. ②如图②所示，线段MN即为所求. ③如图③所示，平行四边形ABCE、直线DF即为所求. 典型考题 变式训练 实践操作：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法). (1)作∠BCA的平分线，交AB于点O； (2)以O为圆心，OB为半径作圆. 综合运用：在你所作的图中， (3)请判断AC与☉O的位置关系，并说明理由； (4)若BC＝6，AB＝8，求☉O的半径. 解：(1)如图，射线CO即为所求. (2)如图，☉O即为所求. (3)AC与☉O相切.理由如下： 如图，过点O作OE⊥AC交AC于点E. ∵OC平分∠ACB，∠ABC＝90°，OE⊥AC， ∴OE＝OB ... ...
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