专题一 数与式的综合运算 第31讲 数与式的综合运算 1.熟练掌握实数的各种运算并注意混合运算中的符号与运算顺序. 2.在整式与分式的化简与求值中灵活运用乘法公式、 运算律及因式分解等知识， 同时还应注意整体思想和各种解题技巧的灵活应用. 1.(2025·天津)tan 45°－cos 45°的值等于(A) A.0 B.1 C.1－ D. 2.下列运算正确的是(B) A.2÷(－6)－1＝－3 B.－3×2 0250＝－3 C.＝1 D. 3.(2025·成都)下列计算正确的是(D) A.x＋2y＝3xy B.(x3)2＝x5 C.(x－y)2＝x2－y2 D.2xy·3x＝6x2y 4.(2024·绥化)下列计算中，结果正确的是(A) A.(－3)－2＝ B.(a＋b)2＝a2＋b2 C.＝±3 D.(－x2y)3＝x6y3 5.(2024·牡丹江)下列计算正确的是(D) A.2a3a2＝2a6 B.(－2a)3÷b×＝－8a3 C.(a3＋a2＋a)÷a＝a2＋a D.3a－2＝ 6.计算：＝ － . 7.(2025·深圳)计算：＝ a－1 . 8.(2025·眉山)已知方程x2－2x－5＝0的两根分别为x1，x2，则(x1＋1)(x2＋1)的值为 －2 . 9.已知m2＋n2＋10＝6m－2n，则 m－n＝ 4 . 10.已知a＋b＝，ab＝－，先因式分解，再求值：a3b＋2a2b2＋ab3. 解：原式＝ab(a2＋2ab＋b2) ＝ab(a＋b)2. ∵a＋b＝，ab＝－， ∴原式＝－. 典型考题 变式训练 类型一 实数运算 1.计算： . 解：原式＝2＋4＋(2－) ＝2 ＝6. 1.计算： －12 026－－2 0250÷2－1. 解：原式＝－1－(2－)－1÷ ＝－1－2＋－1×2 ＝－5＋. 类型二 整式运算 2.(2025·扬州)计算：a(a＋2)－a3÷a. 解：原式＝a2＋2a－a2 ＝2a. 2.先化简，再求值：(x－4)(4－x)－(x＋4)2，其中x＝. 解：原式＝4x－x2－16＋4x－(x2＋8x＋16) ＝4x－x2－16＋4x－x2－8x－16 ＝－2x2－32. 当x＝时，原式＝－2×－32＝－36. 类型三 分式运算 3.(2024·泸州)化简：. 解：原式＝ ＝ ＝. 3.先化简，再从不等式－2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值. 解：原式＝. ∵－2＜a＜3，a≠±1，且a为整数， ∴a＝0或a＝2均符合题意. 当a＝0时，原式＝＝－1； 当a＝2时，原式＝＝1. 1.实数的混合运算主要考查零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、二次根式等，正确应用它们的化简规则以及熟练掌握运算法则是解答此类题的关键. 2.整式的混合运算，关键是熟练掌握合并同类项法则、整式乘法法则、熟练运用乘法公式；分式的混合运算，关键是掌握计算法则，灵活应用因式分解，根据运算顺序进行正确计算.解决化简求值问题的前提是化简一定要正确，求值时要考虑代数式是否有意义，以及注意整体思想等解题技巧. 1.已知x＋＝3，求下列各式的值： (1)； (2)x4＋. 解：(1)∵＝9， ∴x2＋＝7－2＝5. (2)∵＝49， ∴x4＋＝49－2＝47. 2.先化简，再求值：，其中a满足a2－·a＋6cos 60°＝0. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝(a－2)2 ＝a2－4a＋4. ∵a2－·a＋6cos 60°＝0， ∴a2－4a＋3＝0，即a2－4a＝－3.∴原式＝－3＋4＝1. 3.【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 【验证】如(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和. 【探究】设【发现】中的两个已知正整数为m，n，请论证【发现】中的结论正确. 解：【验证】10的一半为5， 5＝1＋4＝12＋22. 【探究】∵(m＋n)2＋(m－n)2＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2 ＝2m2＋2n2 ＝2(m2＋n2)， ∴两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.专题一 数与式的综合运算 第31讲 数与式的综合运算 1.熟练掌握实数的各种运算并注意混合运算中的符号与运算顺序. 2.在整式与分式的化简与求值中灵活运用乘法公式、 运算律及因式分解等知识， 同时还应注意整体思想和各种解题技巧的灵活应用. ... ...
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