专题五 几何综合 第39讲 全等证明 1.熟悉并灵活运用三角形全等基本模型. 2.通过在复杂图形中识别模型、图形变换、变式类比等方法提高综合题的解题能力. 1.【公共角模型】如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE＝BD.若∠CBD＝20°，则∠A的度数为(B) A.20° B.40° C.60° D.70° 2.【公共边模型】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠C＝2∠CDB，AB＝12，CD＝3，则△ABC的周长为(C) A.21 B.24 C.27 D.30 3.【截长补短】如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线，在AB上截取AE＝AC，连接DE.请写出线段AB，AC，CD之间的数量关系并说明理由. 解：AB＝AC＋CD.理由如下： ∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠EAD＝∠CAD. 在△EAD和△CAD中， ∴△EAD≌△CAD(SAS). ∴ED＝CD，∠AED＝∠C＝90°.∴∠BED＝90°. ∵∠ACB＝2∠B＝90°， ∴∠B＝45°.∴∠EDB＝∠B＝45°.∴ED＝EB. ∴EB＝CD.∴AB＝AE＋EB＝AC＋CD. 4.【一线三直角模型】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，易证明△BEC≌△CDA，我们将这个模型称为“一线三直角”.接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： (1)如图②，将一块等腰直角三角板ACB放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(－1，0)，则点B的坐标为 (－3，1) ； (2)如图③，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交于点D，点C的坐标为(0，－1)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为 (－1，1) ； (3)如图④，∠ACB＝90°，AC＝BC，当点C在x轴正半轴上运动，点A(0，a)在y轴的正半轴上运动，点B(m，n)在第四象限时，a，m，n之间的数量关系为 a＋m＋n＝0 . 典型考题 变式训练 如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，点O是AD的中点，OE⊥BC于点E，CO平分∠BCD. (1)求证：AB＝EB； 证明：∵AB∥CD，∠DAB＝90°，OE⊥BC， ∴∠ADC＝∠BEO＝∠CEO＝90°. ∵点O是AD的中点，∴AO＝DO. ∵CO平分∠BCD，∴∠ECO＝∠DCO. 又∠CEO＝∠CDO＝90°，CO＝CO， ∴△OCE≌△OCD(AAS).∴OE＝OD＝OA. 又∠A＝∠BEO＝90°，OB＝OB， ∴△OAB≌△OEB(HL).∴AB＝EB. (2)如图②，以AD为直径画☉O，求证：直线BC与☉O相切； 图② 证明：由(1)，易得OE＝OD＝OA＝AD. ∵OE⊥CB， ∴直线BC与☉O相切. (3)若AD＝DC＝1，求BE的长； 解：由(1)，易得∠AOB＝∠BOE，∠COD＝∠COE，∠ODC＝90°，且∠AOB＋∠BOE＋∠COD＋∠COE＝180°， ∴∠AOB＋∠COD＝90°. ∵∠DCO＋∠COD＝90°， ∴∠AOB＝∠DCO. 又∠BAO＝∠ODC＝90°， ∴△ABO∽△DOC.∴. ∵AD＝DC＝1，∴AO＝DO＝. ∴. (4)如图③，四边形ADCG是边长为1的正方形，求tan∠BCG的值； 图③ 解：由(3)，得AB＝， ∴BG＝AG－AB＝1－. ∴tan∠BCG＝. (5)如图④，以AD为直径画圆，设点P为优弧上一点，若 AB＝1，DC＝2，求tan∠APE的值. 图④ 解：如图④，连接OE，OB. 由(1)，可知△ABO≌△EBO， △DCO≌△ECO， ∴BE＝AB＝1，CE＝CD＝2， ∠BOE＝∠AOB＝∠AOE， ∠COE＝∠COD. 又∠BOE＋∠AOB＋∠COE＋∠COD＝180°， ∴∠BOE＋∠COE＝∠BOC＝90°. ∵OE⊥BC， ∴∠BEO＝∠OEC＝90°. ∴∠OCE＋∠COE＝90°. ∴∠BOE＝∠OCE. ∴△BEO∽△OEC. ∴，即.解得OE＝. ∴tan∠BOE＝. 由圆周角定理，可得∠APE＝∠AOE＝∠BOE. ∴tan∠APE＝tan∠BOE＝. 如图①，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径作圆弧交半圆O于点P.连接DP并延长交AB于点E. (1)求证：DE为半圆O的切线； 图① 证明：连接OP，OD，如图①. ∵BC是☉O的直径， ∴OP＝OC. ∵以点 ... ...
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