湖南省衡阳一中2023-2024学年“船山杯”九年级（下）素养考核数学试卷（含答案）

2023-2024学年湖南省衡阳一中“船山杯”九年级下学期素养考核 数学试卷 一、填空题：本题共八小题，每小题5分，共40分。 1．（5分）若定义新运算“⊙”：a⊙b＝ba，如2⊙3＝32＝9，则＝ 　 　 ． 2．（5分）如图，在圆上有7个点，A，B，C，D，E，F，G，连接每两个点的线段共可作出　 　 条． 3．（5分）已知关于x的不等式组，有99个整数解，则a的最大值为 　 　 ． 4．（5分）若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2﹣b3＝0，则△ABC的形状为 　 　 ． 5．（5分）方程x2﹣y2＝21有 　 　 组整数解． 6．（5分）如图，在直角△ABC中，AD平分∠A，且BD：DC＝2，则∠A＝ 　 　 度． 7．（5分）已知a+b+c＝0，a≥b≥c，a≠0，则的最小值是 　 　 ． 8．（5分）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为 　 　 ． 二、解答题：本题共四小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步理. 9．（15分）（1）若，，，比较a，b，c的大小关系； （2）求和：． 10．（15分）已知反比例函数有许多优美的性质．如图，过函数图象上的任意点P作x轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点． （1）证明：△APO的面积为定值； （2）过点A作OP的平行线交函数的图象于点B，过B作x轴的垂线，垂足为C，求之值． 11．（15分）二进制是一种数制，只使用0和1两个数字来表示数，二进制具有以下特点：1．基数为2：只有0和1两个数字．2．逢2进1：每一位只能用0或1表示，满2则向前进1．二进制在计算机科学中有着广泛应用． （1）二进制数转化为十进制数，如，十进制转化为二进制也为类似的逆运算，请按照此例题解法，将（110）2将转化为十进制数，并将十进制数30转化为二进制数； （2）若将二进制数（）2转化为十进制数，请猜想出结论并证明． 12．（15分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备厢，在打开后备厢的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米． （1）求点D′到BC的距离； （2）求E、E′两点的距离． 2023-2024学年湖南省衡阳一中“船山杯”九年级下学期素养考核 数学试卷答案 一、填空题：本题共八小题，每小题5分，共40分。 1．【答案】9． 【解答】解：∵a⊙b＝ba， ∴2⊙＝（）2＝； ∴﹣1⊙（2⊙）＝﹣1⊙＝（）﹣1＝9； 故答案为：9． 2．【答案】21 【解答】解：从A出发可连6条， 从B出发可连5条，（因为BA就是AB）， 从C出发可连4条… 从F出发可连一条． 共计1+2+3+4+5+6＝21（条）． 故答案为：21． 3．【答案】故答案为﹣193． 【解答】解：解不等式9﹣3x＞2，得：x＜， 解不等式2x﹣a≥1，得：x≥， 则不等式组的解集为≤x＜， ∵不等式组有99个整数解， ∴﹣97＜≤﹣96， 解得：﹣195＜a≤﹣193， 所以a的最大值为﹣193， 故答案为：﹣193． 4．【答案】等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【解答】解：∵a3﹣a2b+ab2﹣ac2﹣b3+bc2＝0， ∴（a3+ab2﹣ac2）﹣（a2b+b3﹣bc2）＝0． ∴a（a2+b2﹣c2）﹣b（a2+b2﹣c2）＝0． ∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0． ∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0． 即a＝b或a2+b2＝c2． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 故答案为：等腰三角形或等腰直角三角形或等腰直角三角形． 5．【答案】8． 【解答】解：∵x2﹣y2＝21＝（x+y）（x﹣y）＝21， ∵x，y为整数， ∴x+y和x﹣y也是整数， ∵21＝1×21或（﹣1）×（﹣21）或3×7或（﹣3）×（﹣7）， ∴（x+y），（x﹣y）可以取以下数对：（1，21），（21，1），（﹣1，﹣21），（﹣21，﹣1 ... ...