8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 【课程标准要求】 1.借助长方体,抽象出空间中点、直线、平面之间的位置关系,培养数学抽象和直观想象的核心素养.2.通过运用符号语言和图形语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系,培养逻辑推理的核心素养. 知识点一 空间两直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法). 如图①②③所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托. 2.空间两条直线的三种位置关系 两直线为异面直线的判断方法 ①定义法;②两直线既不平行也不相交. 知识点二 直线与平面的位置关系 位置 关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外 直线a与 平面α相交 直线a与 平面α平行 公共 点 有无数个 公共点 有且只有一个 公共点 没有 公共点 符号 表示 a α a∩α=A a∥α 图形 表示 对直线与平面的位置关系的理解 若a α,则平面α内的直线与直线a有平行或相交的关系;若直线a与平面α相交,则平面α内的直线与直线a有相交或异面的关系;若a∥α,则平面α内的直线与直线a有平行或异面的关系. 知识点三 平面与平面的位置关系 位置 关系 两平面平行 两平面相交 公共 点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号 表示 α∥β α∩β=l 图形 表示 对平面与平面的位置关系的理解 若α∥β,则其中一个平面内的直线与另一个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面内的直线有平行或异面的关系;若α∩β=l,则其中一个平面内的直线与另一个平面平行或相交或直线在平面内,其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线有平行或相交或异面的关系. 基础自测 1.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( ) [A] 都平行 [B] 都相交 [C] 在两个平面内 [D] 至少与其中一个平面平行 2.(人教A版必修第二册P131习题8.4 T2改编)空间中四点可确定的平面有( ) [A] 1个 [B] 4个 [C] 1个或4个 [D] 1个或4个或无数个 3.下列命题: ①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合; ②若l,m是异面直线,l∥α,m∥β,则α∥β. 其中错误命题的序号为 . 题型一 空间中直线与直线的位置关系 [例1] 如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有 .(填序号) 题图②中,G,H,N三点共面,但M 平面GHN,且N GH,因此直线GH与MN异面. 题图③中,连接GM(图略),GM∥HN,因此,GH与MN共面. 题图④中,G,M,N三点共面,但H 平面GMN且G MN,因此GH与MN异面. 所以题图②④中GH与MN异面. 判断空间两条直线位置关系的诀窍 (1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系,特别关注异面直线. (2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系. [变式训练] 已知点M是平行六面体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1C1上的动点,则下列直线中与BM恒为异面直线的是( ) [A] A1D [B] DD1 [C] CD [D] DC1 对于D,当点M位于C1位置时,BM与直线DC1相交,D错误. 对于B,当M为A1C1的中点时,如图, 因为四边形A1B1C1D1为平行四边形, 所以M也为B1D1的中点. 因为BB1∥DD1, 所以B,D,D1,B1四点共面. 所以BM与DD1共面,B错误. 对于C,因为直线CD 平面ABCD,直线BM∩平面ABCD=B,点B不在直线CD上,所以直线BM与直线CD为异面直线,C正确.故选C. 题型二 空间中直线与平面的位置关系 [例2] 如图,直线A′B与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系 所以直线A′B在平面ABB′A′内. 因为直线A′B与平面ABCD,BCC′B′都有且只有一个公共点B, 所以直线A′B与平面ABCD,BCC′B′相交. 因为直线A′B与平面ADD′A′,A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′, 所以直线A′B与平面ADD′A′,A′B′C′ ... ...
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