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课件网) 方法2 对称法 PART ONE 对称法的运用包括发现对称与构造对称，在高中阶段应用极为广泛.对称方式包括关于点、线、面对称，对称形式包括镜面对称、中心对称，涉及函数、立体几何、解析几何等重点内容.对称法的应用过程中需要注意的是，要对是否具有对称性作出正确的判断，有些图形的对称判断比较直观，对于一些较为复杂的问题，还要加以计算与推理. 【例1】 （函数图象的轴对称、中心对称）已知y＝f（x＋1）是定义在 R上的奇函数，且f（x＋4）＝f（2－x），当x∈[－1，1）时，f（x） ＝2x，则f（2 025）＋f（2 030）＝（ ） A. 1 B. 4 解析： 因为f（x＋1）是定义在R上的奇函数，所以y＝f（x）图象的 对称中心为（1，0），且f（1）＝0.因为f（x＋4）＝f（2－x），所以y ＝f（x）图象的对称轴方程为x＝3，故f（x）的周期T＝8.f（2 025） ＝f（5）＝f（1）＝0，f（2 030）＝f（6）＝f（0）＝1，从而f（ 2 025）＋f（2 030）＝1. C. 8 D. 10 √ 训练1 已知函数f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1）有唯一零点，则a ＝ . 解析：由f（x）＝x2－2x＋a（ex－1＋e－x＋1）可得f（2－x）＝f （x），所以f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，因此唯一的零点只能为 x＝1.由f（1）＝12－2＋a（e1－1＋e－1＋1）＝0，解得a＝ . 【例2】 （几何图形的对称性）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的 球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是 PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（ ） A. 8 π B. 4 π C. 2 π D. π √ 解析： 三棱锥P-ABC为正三棱锥，如图，取PC的中 点G，BC的中点H，连接AG，GH，则由∠CEF＝ 90°和正三棱锥的对称性易知AG⊥GH. 因为 PB∥EF∥GH，所以BP⊥AG，BP⊥CE，因为AG与 CE相交且都在平面APC内，所以BP⊥平面APC，所以BP⊥PA，BP⊥PC. 由正三棱锥的对称性可知PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝ ，可将该三棱锥还原成一个以PA，PB，PC为棱的正方体，正方体的体对角线即为球O的直径，即2R＝ ，R＝ .所以球O的体积为V＝ πR3＝ π，故选D. 训练2 （1）函数f（x）＝ ＋ 的最小值为 ； 解析：f（x）＝ ＋ ，设A（x，0），B（0，2），C（1，1），则可知f（x）＝｜AB｜＋｜AC｜，如图，作点C（1，1）关于x轴的对称点C'（1，－1），则｜AB｜＋｜AC｜＝｜AB｜＋｜AC'｜≥｜BC'｜＝ ，当A，B，C'三点共线时取等号，因此f（x）min＝ . （2）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F是棱C1D1上的动点，若P为线段BD1上的动点，则PE＋PF的最小值为 ； 解析：如图，取AB的中点E'，则由正方体的对称性可知PE＝PE'，所以PF＋PE＝PF＋PE'≥FE'≥ ，当F，P分别为D1C1，D1B的中点时取等号. （3）如图，已知椭圆方程为 ＋ ＝1，F1，F2分别为其左、右焦点，P 为椭圆上的动点，过点F1作椭圆在点P处的切线的垂线，垂足为H， 则点H的轨迹方程为 . x2＋y2＝4 解析：作点F1关于切线HP的对称点F'1，如图，则有｜PF1｜＝｜PF'1｜，又由椭圆的光学性质可知，焦半径PF1，PF2与切线所成的角相等，所以F'1，P，F2三点共线，因此有｜F'1F2｜＝｜PF2｜＋｜PF'1｜＝｜PF2｜＋｜PF1｜＝4，所以点F'1的轨迹是以F2为圆心，4为半径的圆；又因 为H恒为F'1F1的中点，所以｜OH｜＝ ｜ F'1F2｜＝2，点H的轨迹是以O为圆心，2 为半径的圆，所以轨迹方程为x2＋y2＝4. ... ...
