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课件网) 8.6.2 直线与平面垂直 第1课时 直线与平面 垂直的判定 1.在发现和应用直线与平面垂直的判定定理的过程中,培养数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养.2.通过求直线与平面所成的角,培养直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 【课程标准要求】 必备知识·归纳落实 知识点一 直线与平面垂直 定义 一般地,如果直线l与平面α内的 直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关 概念 直线l叫做平面α的 ,平面α叫做直线l的 .直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做 .过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的 ,垂线段的长度叫做这个点到该平面的 . 任意一条 垂线 垂面 垂足 垂线段 距离 画法 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 『知识拓展』 直线与平面垂直的重要结论 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直;过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 知识点二 直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直,那么该直线与此平面垂直 符号 语言 l⊥a,l⊥b,a α,b α, l⊥α 图形 语言 两条相交直线 a∩b=P ·温馨提示· 对该判定定理中的两条直线的认识 该判定定理中,平面内的两条直线必须是“两条相交直线”而不是“两条平行直线”. 知识点三 直线和平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 与平面α ,但不和平面α ,如图中 . 斜足 斜线和平面的 ,如图中 . 斜线在平 面上的 射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引 ,过 叫做斜线在这个平面上的射影 相交 垂直 直线PA 交点 点A 垂线PO 垂足O和斜足A的直线AO 直线 与平 面所 成的角 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 规定:一条直线垂直于平面,它们所成的角是 ;一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是 . 取值 范围 [0°,90°] 90° 0° ·疑难解惑· 对直线和平面所成的角的理解 (1)在直线和平面所成角的定义中,点P具有任意性,它是斜线上异于斜足A的任意点. (2)斜线在平面α上的射影是一条直线,而不是一条线段,它是过斜足和垂足的一条直线. 基础自测 1.空间中直线l和三角形的一边AC及另一边BC的中线同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系一定是( ) [A] 平行 [B] 垂直 [C] 相交 [D] 不确定 B 【解析】 由于直线l和三角形的一边AC及另一边BC的中线同时垂直,所以直线l和三角形所在的平面垂直,又因为三角形的第三边AB在这个平面内,所以一定有l⊥AB.故选B. 2.(人教A版必修第二册P152练习T3改编)如图所示,如果MC⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,那么MA与BD的位置关系是( ) [A] 平行 [B] 垂直相交 [C] 垂直但不相交 [D] 相交但不垂直 C 【解析】 连接AC(图略).因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,所以BD⊥MC.因为AC∩MC=C,AC,MC 平面AMC,所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.故选C. 3.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AA1=4,则直线D1B与 平面ABCD所成角的正弦值为 . 关键能力·素养培优 题型一 直线与平面垂直的定义 [例1] (多选题)下列命题正确的是( ) [A] 如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 [B] 如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 [C] 如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 [D] 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 BD 【解析】 A中两条直线一定是两条相交直线,如果是两条平行直线,结论不成立;C中的无数条直线如 ... ...
