图形与几何 （一）图形的性质 【教材母题溯源———北师八上P183 T3】 1．【问题呈现】如图①，四边形ABDC形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C. 【探究推理】方法一：如图②，连接BC. 在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠A＋∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°. 在△BDC中，∠1＋∠2＋∠BDC＝180°， ∴∠1＋∠2＝180°－∠BDC. ∴∠A＋∠3＋∠4＋180°－∠BDC＝180°. ∴∠BDC＝∠A＋∠3＋∠4，即∠BDC＝∠A＋∠ABD＋∠ACD. 方法二：如图③，连接AD并延长至点F. ∵∠3与∠4分别为△ABD和△ACD的外角， …… （1）“方法一”主要依据的数学定理是_____． （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】 （3）如图④，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝_____． （4）如图⑤是一款可调躺椅的示意图（初始数据如图），AE与BD交于点C，且∠CAB，∠CBA，∠D的大小始终保持不变．为了舒适度，现需调整∠E的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠E应_____（填“增加”或“减少”）_____°. 【教材母题溯源———人教九下P43 T12】 2．【追本溯源】（1）如图①，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，试确定点D（或点E）的位置． 【变式拓展】（2）如图②，在△ABC中，DE∥BC，分别交边AB，AC于点D，E，且DE将△ABC分成面积相等的两部分．把△ADE沿直线DE翻折，点A落在点A′的位置上，A′D，A′E与BC分别交于点F，G，求 的值． 【教材母题溯源———北师九上P25 T4，人教八下P63 实验与探究】 3．如图，已知矩形ABCD的边AD＝2AB＝4，点O是AD的中点，∠EOF的两边分别与边CD，BC交于点E，F（点E不与点C，D重合），且∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转．在旋转的过程中，四边形OFCE的面积为_____． 4．【教材母题溯源———人教九下P44 T14】如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝9，如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边BA向点A运动，直线DE∥BC，交AC于点E.记x秒时DE的长为y，写出y关于x的函数表达式，并画出它的图象． 变式1 （变图形背景：一般三角形→直角三角形）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.动点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BA向点A运动，过点D作DE∥BC，交AC于点E，连接BE.设动点D运动的时间为x秒（0＜x＜4），AE的长为y. （1）求出y关于x的函数表达式． （2）写出△BDE的面积S关于x的函数表达式：_____． （3）当x为何值时，△BDE的面积是△ABC面积的？ 变式2 （变动点数量：1个动点→2个动点）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝16 cm，BC＝8 cm，动点P从点C出发沿边CA向点A运动；动点Q同时从点B出发沿边BC向点C运动，已知点P的运动速度为4 cm/s，点Q的运动速度为2 cm/s，那么运动时间为多少时，△ABC和△PCQ相似？ 5.【教材母题溯源———人教八下P68 T8】（2025德阳）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图，点E，F处是它的两个门，且DE＝CF，要修建两条直路AF，BE，AF与BE相交于点O（两个门E，F的大小忽略不计）． （1）请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由． （2）同学们测得AD＝4米，AE＝3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路？若能，能修建几条，并说明理由． 6.【教材母题溯源———人教八下P61 T7】如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕应成多少度的 ... ...
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