【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题6.5 三角形的内切圆与外接圆（全国通用版）（原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 2026年中考数学一轮复习精讲精练 模块六 圆 专题5 三角形的内切圆与外接圆 【考点一】 三角形内切圆与外接圆 三角形外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. 【考点二】 三角形内心与外心 名称 三角形的外心 三角形的内心 形成 三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点。 三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点。 图形 性质 外心到三角形三个顶点的距离相等，即 。 内心到三角形三条边的距离相等，即 。内心与顶点连线平分三角形的内角。 位置 外心不一定在三角形的内部。 内心一定在三角形的内部。 角度关系 。 。 【考点三】常见结论 1）三角形内切圆半径公式：，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长. 2）特殊的直角三角形内切圆半径公式：其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长. 【解题思路】解三角形的内切圆问题，通常分别连接．内切圆的圆心与切点、圆心与三角形的顶点来构造直角三角形，以便利用直角三角形的知识进行求解． 【题型一】判断三角形外接圆圆心位置 ◇典例1： 如图，已知． (1)用直尺和圆规作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求的半径． ◆变式训练 1.用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 为美化校园，学校准备建造一个圆形的养鱼池（如图），使得的三个顶点都落在圆形养鱼池的边上，请在图中画出这个圆形鱼池． 【题型二】求外心坐标 ◇典例2： 如图，的顶点坐标分别为：，，． (1)的外接圆圆心M的坐标为 ． (2)以点M为位似中心，画出，使它与位似，且位似比为． ◆变式训练 1.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为_____； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【题型三】已知外心的位置判断三角形形状 ◇典例3： 如图，O是的外心，则　　 A． B． C． D． ◆变式训练 1.已知和有相同的外心，，则的度数是（ ） A．70° B．110° C．70°或110° D．不能确定 2.如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，BE，则关于△ABF外心的位置，下列说法正确的是（ ） A．在△ABF内 B．在△BFE内 C．在线段BF上 D．在线段BE上 【题型四】求特殊三角形外接圆的半径 ◇典例4： 如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ） A． B． C． D． ◆变式训练 1.如图，四边形是矩形，E为上一点，F为上一点．，且，过点D作，垂足为G，连接，则的最小值为 ． 2.在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 【题型五】由三角形的内切圆求解 ◇典例5： 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 ◆变式训练 1.如图，的内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2.如图，是的内切圆，，则的大小是 ． 【题型六】求三角形的内切圆半径 ◇典例6： 如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为（ ） A．2 B．3 C． D． ◆变式训练 1.如图，在中，，，，是的内切圆，则的半径为 ... ...