专题二 不等式与平面向量 考点一 不等式的性质及解法 1.（2019·全国Ⅱ卷6题）若a＞b，则（ ） A.ln（a－b）＞0 B.3a＜3b C.a3－b3＞0 D.｜a｜＞｜b｜ 解析：C 法一 不妨设a＝－1，b＝－2，则a＞b，可验证A、B、D错误，只有C正确.故选C. 法二 由函数y＝ln x的图象（图略）知，当0＜a－b＜1时，ln （a－b）＜0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a＞b时，3a＞3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a＞b时，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b＜a＜0时，｜a｜＜｜b｜，故D不正确.故选C. 2.（2018·全国Ⅲ卷12题）设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（ ） A.a＋b＜ab＜0 B.ab＜a＋b＜0 C.a＋b＜0＜ab D.ab＜0＜a＋b 解析：B ∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0. 3.（2020·浙江高考9题）已知a，b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有（x－a）（x－b）（x－2a－b）≥0，则（ ） A.a＜0 B.a＞0 C.b＜0 D.b＞0 解析：C 法一 若a，b，2a＋b互不相等，则当时，原不等式在x≥0时恒成立.又因为ab≠0，所以b＜0；若a＝b，则当时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以b＜0；若a＝2a＋b，则当时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以b＜0；若b＝2a＋b，则a＝0，与已知矛盾；若a＝b＝2a＋b，则a＝b＝0，与已知矛盾；综上，b＜0，故选C. 法二 特殊值法：当b＝－1，a＝1时，（x－1）（x＋1）（x－1）≥0在x≥0时恒成立；当b＝－1，a＝－1时，（x＋1）（x＋1）（x＋3）≥0在x≥0时恒成立；当b＝1，a＝－1时，（x＋1）（x－1）（x＋1）≥0在x≥0时不一定成立.故选C. 4.（2019·天津高考10题）设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值范围为. 解析：3x2＋x－2＜0变形为（x＋1）（3x－2）＜0，解得－1＜x＜，故使不等式成立的x的取值范围为. 考点二 基本不等式 5.（多选）（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（ ） A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2 C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1 解析：BC 对于A、B：由x2＋y2－xy＝1，得（x＋y）2－3xy＝1，又xy＝－，所以（x＋y）2－3＝1，即1＝＋≥，所以－2≤x＋y≤2，所以A不正确，B正确；对于C、D：由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，所以C正确，D不正确.综上可知，故选B、C. 6.（多选）（2020·新高考Ⅰ卷11题）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（ ） A.a2＋b2≥ B.2a－b＞ C.log2a＋log2b≥－2 D.＋≤ 解析：ABD 对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2＝1，∴a2＋b2≥，正确；对于选项B，易知0＜a＜1，0＜b＜1，∴－1＜a－b＜1，∴2a－b＞2－1＝，正确；对于选项C，令a＝，b＝，则log2＋log2＝－2＋log2＜－2，错误；对于选项D，∵＝，∴[]2－（＋）2＝a＋b－2＝（－）2≥0，∴＋≤，正确.故选A、B、D. 7.（2020·江苏高考12题）已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值是 . 解析：法一 由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则x2＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是. 法二 4＝（5x2＋y2）·4y2≤ ＝（x2＋y2）2，则x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是. 8.（2019·天津高考13题）设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为4. 解析：∵ x＞0，y＞0，∴ ＞0.∵ x＋2y＝5，∴ ＝＝＝2＋≥2＝4.当且仅当2＝时取等号.∴ 的最小值为4. 考点三 平面向量 9.（2020·新高考Ⅱ卷3题）若D为△ABC的边AB的中点，则＝（ ） A.2－ B.2－ C.2＋ D.2＋ 解析：A ∵ ... ...
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