《直通名校》高考热点新情境5 与解析几何相关的新情境问题（含解析）-高考数学大二轮专题复习

与解析几何相关的新情境问题 热点一 与生产生活相关 例1 （1）（2023·河北·邯郸冀南新区育华实验学校高三期中）图1展示的是某电厂的冷却塔，已知该冷却塔的轴截面是中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一部分（图2），该冷却塔上口的直径是塔身最窄处直径的2倍，且塔身最窄处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径．则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设双曲线的方程为， 如图：由题意可知：，， 又因为塔身最高处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径，所以点， 将点代入曲线方程，解得：， 所以该双曲线的离心率， 故选：B. （2）（2023·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）香港科技大学“逸夫演艺中心”鸟瞰图如图1所示，最上面两层类似于离心率相同的两个椭圆，我们把离心率相同的两个椭圆叫做“相似椭圆”.如图2所示，在“相似椭圆”中，由外层椭圆的下顶点和右顶点分别向内层椭圆引切线，且两切线斜率之积等于，则该组“相似椭圆”的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设内层椭圆的方程为， 因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆可设成， 设切线的方程为，与联立，得， 又，所以. 设切线的方程为，与联立，得， 又，所以.又， 所以，因此. 故选：D. （3）（2023·四川·绵阳中学高三阶段练习）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm，下底直径为9cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为_____cm． 【答案】 【详解】 由已知，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 设双曲线方程为， 由已知可得，，且， 所以，所以双曲线方程为， 底直径为6cm，所以双曲线过点， 下底直径为9cm，高为9cm，所以双曲线过点，代入双曲线方程得： ，解得： ， 所以喉部（最细处）的直径为 cm. 故答案为：. 跟踪演练1（1）（2023·河南·宜阳县第一高级中学高三阶段练习）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为 ，楼底的直径为，楼顶直径为，最细处距楼底 ，则该地标建筑的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：以地标建筑的最细处所在直线为 轴，双曲线的虚轴为 轴，建立平面直角坐标系如图所示. 由题意可得：，， 设，双曲线的方程是， 则，解得 ， 所以双曲线的方程是：， 将点代入得， 解得， 所以该地标建筑的高为： . 故选： . （2）（2023·辽宁实验中学高三期中）曲线四叶玫瑰线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状．以下曲线方程能表达该图象的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图象知曲线关于两坐标轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形， 换成时，D选项方程变为，与原方程不相同，D错； 换成时，B选项方程变为，与原方程不相同，B错； C选项方程变为，与原方程不相同，C错； 只有A中代替，代替或同时用代替，代替，方程均不变，满足题意． 故选：A． （3）（2023·全国· ... ...