导数构造函数问题-含解析

高二下培优提升训练（一）--导数中构造函数问题 一、导数构造函数基本规律 二、典型例题分析 【例 1】已知函数 f (x) 的导函数为 f ′(x)，若满足 xf ′(x) + f (x) > 0对 x∈ (0,+∞) 恒成立，则下列不等式一 定成立的是 ( ) A． f (π ) f (e) B． f (π ) f (e)< > C．π f (π ) < ef （e） D．π f (π ) > ef （e） π e π e 【例 2】已知函数 f (x) 的导数为 f ′(x)， f (x) xf ′(x) > 0对 x∈ (0,+∞) 恒成立，则下列不等式中一定成立 的是 ( ) A． f (π ) > f （e） B． f (π ) < f （e） C． f (π ) f (e) D． f (π ) f (e)> < π e π e 【例 3】设函数 f (x) 是定义在 (0,+∞)上的可导函数，其导函数为 f ′(x) ，且有 2 f (x) + xf ′(x) > 0 ，则不等 式 (x 2021)2 f (x 2021) f （1） > 0的解集为 ( ) A． (2020,+∞) B． (0,2022) C． (0,2020) D． (2022,+∞) 【例 4】定义在 (0,+∞)上的函数 f (x) 满足：2 f (x) < xf f (1)′(x) < 3 f (x)，其中 f ′(x) 为 f (x) 的导函数，则 的 f (2) 取值范围为 ( ) A． ( 1 ， 1) B． (1 ， 1) C． (1 ， 1) D． (1 ， 1) 16 8 8 4 4 3 3 2 【例5】已知定义在 R 上的函数 f (x) 关于 y 轴对称，其导函数为 f ′(x) ，当 x 0时，不等式 xf ′(x) >1 f (x) ．若 对 x∈R ，不等式 ex f (ex ) ex + ax axf (ax) > 0 恒成立，则正整数 a 的最大值（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例 6】已知定义在 R 上的可导函数 f (x) 的导函数为 f ′(x)，满足 f ′(x) < f (x) 且 f (x + 2)为偶函数，若 f （4） =1，则不等式 f (x) < ex 的解集为 ( ) A． ( 3,+∞) B． (1,+∞) C． (0,+∞) D． (6,+∞) 【例 7】已知定义在 R 上的可导函数 f (x) 的导函数为 f ′(x)，满足 f ′(x) < f (x) 且 f (x + 3)为偶函数，f (x +1) 为奇函数，若 f （9） + f （8） =1，则不等式 f (x) < ex 的解集为 ( ) A． ( 3,+∞) B． (1,+∞) C． (0,+∞) D． (6,+∞) 【例 8】已知函数 y = f (x)(x∈R)导函数为 f ′(x) ， f (0) = 2，且 f (x) + f ′(x) >1，则不等式 ex f (x) > ex +1 的解集为 ( ) A．{x | x > 0} B．{x | x < 0} C．{x | x < 1或 0 < x <1} D．{x | x < 1或 x >1} 【例 9】已知 f (x) 是定义在 ( ∞， 0)∪ (0 ， +∞) 上的奇函数， f ′(x)是 f (x) 的导函数， f （1） ≠ 0，且 满足当 x > 0 时， f ′(x)lnx f (x)+ < 0，则不等式 (x 1) f (x) < 0的解集为 ( ) x A． (1,+∞) B． (0,1) C． ( ∞,1) D． ( ∞， 0)∪ (1， +∞) 【例 10】已知函数 f (x) 的定义域为 R ，导函数为 f ′(x)，对任意的实数 x，lnf (x) lnf ( x) = 2x ，且当 x > 0 时， f ′(x) > f (x) ，则满足不等式 f (3a 1) > e4a 2 f (1 a)的实数 a的取值范围是 ( ) A． ( ∞,0) (0, 1) B． (1 , 1 1+∞) C． ( ∞,0) ( ,+∞) D． ( ∞, ) 2 2 2 2 三、达标巩固训练 1、已知定义在 R 上的可导函数 f (x) 满足： f (0) = 2 ，且对 x∈R 有 f (x) + f ′(x) >1 ，则不等式 ex f (x) > ex +1的解集为 ( ) A．{x | x > 0} B．{x | x < 0} C．{x | x < 1或 x >1} D．{x | x < 1或 0 < x <1} 2．设函数 f (x) 是定义在 ( ∞,0) 上的可导函数，其导函数为 f ′(x) ，且有 2 f (x) + xf ′(x) > 0 ，则不等式 (x + 2023)2 f (x + 2023) 4 f ( 2) < 0 的解集为 ( ) A． ( 2023, 2021) B． ( 2025,0) C． ( 2025, 2021) D． ( 2025, 2023) 3 x、定义在 R 上的奇函数 f (x) ，其导函数为 f ′(x) ，当 x 0时，恒有 f ′(x) f ( x) 0，若 g(x) = x3 f (x) ， 3 则不等式 g(2x) > g(1 3x)的解集为 ( ) A． (1 ,1) B ( , 1) C (1． ∞ ． ,+∞) D．( ∞, 1) (1,+∞) 5 5 5 5 4．定义域为 R 的可导函数 f (x) 的导函数 ... ...