培优课 二面角的平面角的常见解法 二面角是立体几何中最重要的知识点,是高考的热点和重点. 求二面角的常见方法有定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法、补棱法. 1.定义法 (1)方法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. (2)具体演示:如图所示,以二面角的棱a上的任意一点O为端点, 在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA,OB,则∠AOB为此二面角的平面角. 2.三垂线法 (1)方法:自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足),斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角,即为此二面角的平面角. (2)具体演示:在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB,垂足为B,再过点B向棱a作垂线BO,垂足为O,连接AO,则∠AOB就是二面角的平面角. 3.垂面法 (1)方法:过空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两条射线所成的角就是二面角的平面角. (2)具体演示:过二面角内一点A作AB⊥α于B,作AC⊥β于C, 平面ABC交棱a于点O,则∠BOC就是二面角的平面角. 4.射影面积法 已知平面β内一个多边形的面积为S,它在平面α内的射影图形的面积为S射影,平面α和平面β所成的二面角的大小为θ,则|cos θ|=. 这个方法对于无棱二面角的求解很简便. 5.补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当两平面没有明确的交线时,也可直接用射影面积法解题. 题型一 定义法 [例1] 在三棱锥V-ABC中,VA=AB=VB=AC=BC=2,VC=,求二面角V-AB-C的大小. 因为在△VAB中, VA=VB=AB=2, 所以△VAB为等边三角形, 所以VD⊥AB且VD=, 同理CD⊥AB,CD=, 所以∠VDC为二面角V-AB-C的平面角, 因为△VDC是等边三角形,∠VDC=60°, 所以二面角V-AB-C的大小为60°. 求解二面角大小这类问题时,关键思路是依据二面角定义找出其平面角,再在相应三角形里依据三角形知识求解角度. [变式训练] 在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为2的正方形,侧面PAB是等边三角形,PC=PD=,则平面PAB与平面 ABCD 的夹角为 . 因为侧面PAB是等边三角形,PC=PD=,四边形ABCD是边长为2的正方形, 所以PF⊥AB,PG⊥DC,AB⊥FG, PF=,PG=1,FG=2, 又PF⊥AB,AB⊥FG,平面PAB∩平面 ABCD=AB,所以∠PFG是平面PAB与平面ABCD的平面角, 又PF=,PG=1,FG=2, 所以cos∠PFG===,所以∠PFG=, 所以平面PAB与平面ABCD的夹角为. 题型二 三垂线法 [例2] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ABB1A1为正方形,四边形AA1C1C为菱形,∠CAA1=60°,侧面AA1C1C⊥平面ABB1A1. 求二面角C-BB1-A的余弦值. 过H作HK⊥BB1于K,连接CK, 因为BB1 平面ABB1A1,所以CH⊥BB1, 又CH,HK 平面CHK,CH∩HK=H, 故BB1⊥平面CHK, 又CK 平面CHK,所以BB1⊥CK, 故∠CKH为二面角C-BB1-A的平面角, 在Rt△CHK中,设AC=a,AA1=AB=a, ∠CAA1=60°, 所以CH=,HK=AB=a, CK==, 所以cos∠CKH==. 即二面角C-BB1-A的余弦值为. 用三垂线法解此类题,要精准把握面面垂直找垂线,巧妙利用定理定平面角,合理设参准确算长度. [变式训练] 如图,边长为4的正方形 ABCD 所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直,Q为AD的中点.二面角 P-DB-A 的正切值为 . 易知PQ⊥AD,因此可得PQ⊥平面ABCD, 过点Q作QE⊥BD于点E,连接PE,如图所示. 又PQ⊥平面ABCD,BD,QE 平面ABCD,所以PQ⊥BD,PQ⊥QE. 又QE⊥BD,且PQ∩QE=Q,PQ,QE 平面PQE, 所以BD⊥平面PQE,PE 平面PQE, 所以PE⊥BD. 即∠PEQ为二面角P-DB-A的平面角, 显然∠ADB=45°,且AD=4,三角形PAD为正三角形,所以PQ=2,QE=QDsin 45°=. 在Rt△PEQ中,tan∠PEQ===, 即二面角P-DB-A的正切值为. 题型三 垂面法 [例3] 如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB ... ...
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