章末复习提升 题型一 空间几何体的表面积和体积 1.主要考查多面体、旋转体的表面积,旋转体的侧面展开图,柱体、锥体、台体的体积,球的表面积和体积,不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解. 2.与球有关的组合体,一种是内切,一种是外接,解题时要认真分析图形,充分发挥空间想象能力,做到以下几点: (1)明确切点和接点的位置; (2)确定有关元素间的数量关系; (3)作出合适的截面图. [典例1] 如图,正四棱台容器ABCDA1B1C1D1的高为12 cm,AB=10 cm,A1B1=2 cm,容器中水的高度为6 cm.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹没),水位上升了3 cm,若忽略该容器壁的厚度,则小铁球的半径为( ) [A] cm [B] cm [C] cm [D] cm 正四棱台容器内水的高度为6 cm,由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为×(2+10)=6(cm),其体积为V1=×(62+102+)×6=392(cm3); 放入铁球后,水位高为9 cm,沿A1B1作个纵截面,从A1,B1分别向底面引垂线,如图, 其中EF是底面边长为10 cm,B1H是容器的高为12 cm,GH是水的高为9 cm, 由截面图中比例线段的性质==, 可得GN=1 cm,此时水面边长为4 cm, 此时水的体积为V2=×(42+102+)×9=468(cm3), 放入的57个球的体积为468-392=76(cm3), 设小铁球的半径为r,则57×πr3=76, 解得r=(cm).故选A. [跟踪训练] 在三棱锥PABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=,则该棱锥的体积为( ) [A] 1 [B] [C] 2 [D] 3 因为△ABC是边长为2的等边三角形, PA=PB=2, 所以PE⊥AB,CE⊥AB, 又PE,CE 平面PEC, PE∩CE=E, 所以AB⊥平面PEC, 又PE=CE=2×=,PC=, 故PC2=PE2+CE2, 即PE⊥CE, 所以V=+=S△PEC·AB=××××2=1.故选A. 题型二 空间中的平行垂直关系 1.空间中的平行关系,主要考查在空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行.通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化,提升逻辑推理和直观想象素养. 2.空间中的垂直关系主要考察线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理,以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化. [典例2] 如图,在四棱锥PABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,BC=CD=AD=1,E为棱AD的中点,PA⊥平面ABCD. (1)求证:AB∥平面PCE; (2)求证:平面PAB⊥平面PBD. 又因为AD∥BC,所以四边形AECB为平行四边形,所以AB∥CE. 又因为CE 平面PCE,AB 平面PCE, 所以AB∥平面PCE. (2)因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD, 所以PA⊥BD. 连接BE(图略),由题意AD∥BC,E为棱AD的中点,BC=AD=1,知BC∥DE,且BC=DE,则四边形BCDE为平行四边形. 因为AD⊥DC, 所以DE⊥CD. 又BC=CD=1, 所以平行四边形BCDE为正方形,所以BD⊥EC. 又AB∥EC,所以BD⊥AB. 又PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB, 所以BD⊥平面PAB. 又BD 平面PBD, 所以平面PAB⊥平面PBD. [跟踪训练] 如图,在△BCD中,∠BCD=90°,AB⊥平面BCD,E,F分别是AC,AD上的动点,且==λ(0<λ<1). (1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC; (2)若BE⊥AC,求证:平面BEF⊥平面ACD. 所以AB⊥CD. 又因为CD⊥BC且AB∩BC=B,AB,BC 平面ABC, 所以CD⊥平面ABC. 又==λ(0<λ<1), 所以不论λ为何值,恒有EF∥CD, 所以EF⊥平面ABC,又EF在平面BEF内, 所以不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC. (2)由(1)知EF⊥平面ABC,BE 平面ABC, 所以BE⊥EF. 又因为BE⊥AC且EF∩AC=E,EF,AC 平面ACD, 所以BE⊥平面ACD. 又BE在平面BEF内, 所以平面BEF⊥平面ACD. 题型三 空间角的求法 1.空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角,主要考查空间角的定义及求法,求角时要先找角,再证角,最后在三角形中求角. 2.求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角);求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影);求二面角的平面角常用定义法、三垂线法、垂面法. [典例3] 如图,三棱柱ABCA1B1C1所有棱长都为2, ... ...
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