第六章 平面向量及其应用 (时间：120分钟 满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．关于非零向量a，b，下列说法正确的是( ) A．若|a|>|b|，则a>b B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若a＝b，则a∥b D．若a≠b，则a，b不是共线向量 2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝( ) A．12 B．8＋ C．4 D．13 3．已知在△ABC中，a＝2，b＝2，B＝，则角A的值是( ) A． B． C．或 D．或 4．已知a＝，b＝，则a在b上的投影向量为( ) A． B． C． D． 5．在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos ∠BAC＝，则△ABC的面积为( ) A．6 B．8 C．24 D．48 6．在△ABC中，AB＝3，BC＝5，D为BC边上一点，且满足＝，此时∠ADC＝，则AC边长等于( ) A． B． C．4 D． 7．(教材原题·P52习题6.4T1)若非零向量与满足·＝0，·＝，则△ABC为( ) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 8．P是边长为2的正方形ABCD边界或内部一点，且＝，则·的最大值是( ) A．2 B．4 C．5 D．6 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有( ) A．＝ ＝ C．＝ ＝＋ 10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝a cos C，b＝2，若边BC的中线AD＝3，则下列结论正确的有( ) A．A＝ B．A＝ C．·＝6 D．△ABC的面积为3 11．已知△ABC中，D为BC边中点，若点P满足3＋2＝0，则下列说法正确的是( ) A．点P一定在△ABC内部 B．4＋2＝ C．S△ABC＝3S△PAC D．点P在直线AD上 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12．(2025·天津高考)△ABC中，D为AB中点，＝＝a，＝b，则＝_____(用a，b表示)；若||＝5，AE⊥CB，则·＝_____． 13．(2024·浙江高考)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝，b＝，c＝2，则该三角形的面积S＝_____． 14．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()·的最小值是_____． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知向量a＝(1，3)，b＝(m，2)，c＝(3，4)，且(a－3b)⊥c． (1)求实数m的值； (2)求|3b－c|； (3)求向量a与b的夹角． 16．(本小题满分15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2b cos C＝2a＋c． (1)求角B的大小； (2)若b＝2，D为AC边上的一点，BD＝1，且_____，求△ABC的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分． 17．(本小题满分15分)(教材原题·P62复习参考题6 T19)如图，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于点D，E．设AB＝c，BC＝a，CA＝b，∠ADE＝θ，请用向量方法探究θ与△ABC的边和角之间的等量关系． 18．(本小题满分17分)(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 19．(本小题满分17分)目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图①，某同学在一条水平公路 ... ...
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