6.1.1 向量的实际背景与概念 6.1.2 向量的几何表示 6.1.3 相等向量与共线向量 【课程标准要求】 1.了解平面向量的实际背景,理解平面向量的相关概念,达成数学抽象的核心素养.2.掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念,达成数学抽象的核心素养.3.理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念,达成数学抽象、逻辑推理的核心素养. 知识点一 向量的概念 1.向量 既有大小又有方向的量叫做向量. 2.数量 只有大小没有方向的量称为数量. 知识点二 向量的几何表示 1.有向线段 具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、方向、长度. 2.向量的表示 (1)几何表示:用有向线段 表示,记作向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量 的大小称为向量 的长度(或称模),记作. (2)字母表示:印刷时用字母a ,b,c,…表示,书写时用,,,…表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以A为起点、B为终点的有向线段记作 . 3.两种特殊的向量 (1)零向量与非零向量:长度为0的向量叫做零向量.印刷时用0表示;书写时,可写为.长度不为0的向量称为非零向量. (2)单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量. (1)若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合. (2)要注意0与0的区别与联系:0是一个实数,0是一个向量,且有|0|=0;书写时表示零向量,一定不能漏掉0上面的箭头. (3)单位向量有无数个,它们的大小相等,但方向不一定相同. (4)在平面内,将所有表示单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆. 知识点三 相等向量与共线向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量;平行向量也叫做共线向量.向量a与b平行,记作a∥b,规定:零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量;向量a与b相等,记作a=b 知识拓展 对相等向量与共线向量的理解 (1)理解平行向量的概念时,需注意平行向量和平行直线是有区别的,平行直线不包括重合的情况,而平行向量是可以重合的. (2)共线向量就是平行向量,其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上,共线向量(平行向量)有以下四种情况:方向相同且模相等;方向相同且模不等;方向相反且模相等;方向相反且模不等.这样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量. (3)向量相等具有传递性,即a=b,b=c,则a=c.而向量的平行不具有传递性,若a∥b,b∥c,未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量. 基础自测 1.下列量是向量的为( ) [A] 频率 [B] 拉力 [C] 体积 [D] 距离 【答案】 B 【解析】 显然频率、体积、距离只有大小,它们不是向量,而拉力既有大小,又有方向,所以拉力是向量.故选B. 2.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为( ) [A] 邻边不相等的平行四边形 [B] 矩形 [C] 菱形 [D] 等腰梯形 【答案】 C 【解析】 因为=,所以四边形ABCD为平行四边形,又||=||,即邻边相等,所以四边形 ABCD为菱形.故选C. 3.(人教A版必修第二册P5习题6.1 T4改编) 如图所示,设O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的有 .(填序号) ①=;②∥;③与共线;④=. 【答案】 ①②③ 【解析】 与方向相同,长度相等,所以①正确; 因为A,O,C三点在一条直线上, 所以∥,②正确; 因为AB∥DC,所以与共线,③正确; 与方向不同,所以二者不相等,④错误. 4.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量 是平行向量,与是共线向量,则m= . 【答案】 0 【解析】 与不共线,零向量的方向是任意的,它与任意向量平行,所以唯有零向量才能同时与两个不共线的向量平行. 题型一 向量的有关概念 [例1] (多选题)下列说法错误的是( ) [A] 向量 与向量 的长度相等 [B] 两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同 [C] 零向量没有方向 [D] 若两个单 ... ...
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