(
课件网) 6.2.3 向量的 数乘运算 1.了解向量的数乘的概念,并理解这种运算的几何意义,提升数学抽象、直观想象的核心素养.2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量的数乘运算进行向量运算,提升数学运算的核心素养.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题. 【课程标准要求】 必备知识·归纳落实 知识点一 向量数乘的定义 一般地,规定实数λ与向量a的积是一个 ,这种运算叫做 ,记作λa,其长度与方向规定如下: (1)|λa|= . 向量 向量的数乘 |λ||a| λ＞0 λ＜0 特别地,当λ=0时,λa= . 当λ=-1时,(-1)a=-a. 0 ·疑难解惑· (1)向量的数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向长度扩大或缩小. (2)当λ=0或a=0时,λa=0,注意是0,而不是0;若λa=0,则λ=0或a=0. 知识点二 向量数乘的运算律 1.运算律 设λ,μ为实数,那么 (1)λ(μa)= ; (2)(λ+μ)a= ; (3)λ(a+b)= . 特别地,(-λ)a=-(λa)= ,λ(a-b)= . (λμ)a λa+μa λa+λb λ(-a) λa-λb 2.向量的线性运算 向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)= . 加 减 数乘 λμ1a±λμ2b ·温馨提示· 实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算. 知识点三 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使 . b=λa ·疑难解惑· 对向量共线定理的理解 向量共线定理中规定a≠0,因为如果a=0,当b=0时,0=λ0,λ可以是任意实数;当b≠0时,b=λ0,λ值不存在. 基础自测 C 1.下列运算正确的个数是( ) ①(-3)·2a=-6a;②2(a+b)-(2b-a)=3a;③(a+2b)-(2b+a)=0. [A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3 【解析】 根据向量的数乘运算规律和加减运算规律知①②正确;③(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,是零向量,而不是0,所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.故选C. C A 10a 4.(人教A版必修第二册P16练习T2改编)化简4(a-3b)-6(-2b-a)= . 【解析】 4(a-3b)-6(-2b-a)=4a-12b+12b+6a=10a. 关键能力·素养培优 题型一 向量的线性运算 [例1] (1)若a=2b+c,则化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)等于( ) [A] -a [B] -b [C] -c [D] 以上都不对 C 【解析】 (1)因为a=2b+c, 所以3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b) =3a+6b-6b-2c-2a-2b=a-2b-2c =2b+c-2b-2c=-c.故选C. ·解题策略· 向量线性运算的基本方法 (1)类比法:向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数. (2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运算. [变式训练] 计算: (1)8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c); 【解】 (1)原式=16a-8b+8c-6a+12b-6c-4a-2c =(16-6-4)a+(-8+12)b+(8-6-2)c =6a+4b. 题型二 用已知向量表示其他向量 ·解题策略· 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 ·解题策略· (2)方程法 当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程. C 题型三 向量共线定理 [例3] 已知向量a,b,c中任意两个都不共线,并且a+b与c共线,b+c与a共线,那么a+b+c等于( ) [A] a [B] b [C] c [D] 0 D 【解析】 因为a+b与c共线,所以存在实数λ1,使得a+b=λ1c.① 又b+c与a共线,所以存在实数λ2,使得b+c=λ2a.② 由①得,b=λ1c-a. 所以b+c=λ1c-a+c=(λ1+1)c-a=λ2a, ·解题策略· 利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ,常根据向量共线的 ... ...
