6.2.4 向量的数量积 第1课时 向量的数量积(一) 【课程标准要求】 1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义、性质及投影向量. 3.会计算平面向量的数量积. 知识点一 向量数量积的概念 1.向量的夹角 (1)夹角:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作 =a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示). (2)垂直:如果a与b的夹角是,则称a与b垂直,记作a⊥b. (1)a与b的夹角常用
表示. (2)当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向. 2.向量数量积的定义 非零向量a,b的夹角为θ,数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积等于0. (1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”. (2)数量积的结果为数量,不再是向量. (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定:当θ是锐角时,数量积为正;当θ是钝角时,数量积为负;当θ是直角时,数量积等于零. 知识点二 投影向量 1.如图①,设a,b是两个非零向量,=a,=b,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量. 2.如图②,在平面内任取一点O,作=a,=b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量. 3.设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,对于任意的θ∈[0,π],都有= |a|cos θe. (1)|a|cos θ为向量a在b上的投影的数量. (2)|b|cos θ为向量b在a上的投影的数量. (3)投影的数量|a|cos θ(|b|cos θ)是一个值,不是向量. 知识点三 向量数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b a·b=0. (3)当a∥b时,a·b= 特别地,a·a=|a|2或|a|=. (4)|a·b|≤|a||b|. 对性质(4)的理解: |a·b|≤|a||b|,当且仅当向量a,b共线,即a∥b时,等号成立. 基础自测 1.已知向量a与b的夹角为60°,其中|a|=3,|b|=2,则a·b等于( ) [A] 6 [B] 5 [C] 3 [D] 2 【答案】 C 【解析】 a·b=|a||b|cos 60°=3×2×=3.故选C. 2.在等腰直角三角形ABC中,若∠C=90°,AC=,则·等于( ) [A] -2 [B] 2 [C] -2 [D] 2 【答案】 A 【解析】 ·=||||cos (180°-∠ABC)=2××cos 135°=-2.故选A. 3.(人教A版必修第二册P20练习T3改编)已知向量a与b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则向量a在b上的投影向量为( ) [A] b [B] b [C] a [D] a 【答案】 A 【解析】 由题意知,|a|=2且向量a与向量b的夹角为,所以向量a在b上的投影为|a|cos=1,又|b|=1,所以向量a在b上的投影向量为b. 故选A. 4.如图,圆C中,弦AB的长度为6,则·= . 【答案】 18 【解析】 取线段AB的中点D,连接CD, 得CD⊥AB, 所以||cos A=||=||. 所以·=||·cos A·||=·||2=18. 题型一 向量数量积的概念 [例1] 已知正三角形ABC的边长为1,求: (1)·; (2)·; (3)·. 【解】 (1)因为与的夹角为60°, 所以·=||||cos 60°=1×1×=. (2)因为与的夹角为120°, 所以·=||||cos 120°=1×1×(-)=-. (3)因为与的夹角为60°, 所以·=||||cos 60°=1×1×=. 求向量数量积的方法 计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角,条件是两向量的起点必须重合,否则,要通过平移使两向量符合以上条件. [变式训练] 已知|a|=6,|b|=1,a·b=-9,则a与b的夹角是( ) [A] 120° [B] 150° [C] 60° [D] 30° 【答案】 B 【解析】 因为|a|=6,|b|=1,a·b=-9, 所以cos===-, 因为0°≤≤180°,所以=150°.故选B. 题型二 投影向量 [例2] (北师大版必修第二册P108例1)如图,已知向量a与b,其中|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150°. (1)求a·b; (2)求向量b在a方向上的投影数量,并画图解释. 【解】 (1)a·b=|a||b|cos θ= ... ... 