6.3.1 平面向量基本定理 【课程标准要求】 1.通过力的分解引出平面向量基本定理,体会平面向量基本定理的形成过程,重点培养数学抽象及直观想象的核心素养.2.通过平面向量基本定理的应用,强化直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 知识点 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 2.基底 若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识拓展 对平面向量基本定理的理解 (1)基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. (2)基底给定时,分解形式唯一.λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数值. (3)e1,e2是同一平面内所有向量的一组基底,则当a与e1共线时,λ2=0;当a与e2共线时,λ1=0;当a=0时,λ1=λ2=0. (4)由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为基底中的向量. 基础自测 1.若已知e1,e2是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是( ) [A] e1与-e2 [B] 3e1与2e2 [C] e1+e2与e1-e2 [D] e1与2e1 【答案】 D 【解析】 若e1,e2是平面上的一组基底,则e1,e2不共线,据此可得ABC选项所对应向量组均不共线,可作为基底.D选项,e1与2e1共线,则不可以作为一组基底.故选D. 2.如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ-μ,则λ等于( ) [A] -1 [B] 1 [C] [D] 【答案】 C 【解析】 正方形ABCD中,M是BC的中点, 则则=+, 于是=+=+(+)=+,而=λ-μ, 所以λ=.故选C. 3.(人教A版必修第二册P27练习T2改编)在 ABCD中,=a,=b,若M是BC的中点,则= .(用a,b表示) 【答案】 a+b 【解析】 如图, 因为四边形ABCD为平行四边形, 所以=+,=+=-, 所以=(+), =(-). 又M为BC的中点,所以=. 得=+=+ =(+)+(-) =+, 所以=a+b. 题型一 对基底概念的理解 [例1] 如果{e1,e2}表示平面内所有向量的一个基底,那么下列四组向量,不能作为一个基底的是( ) [A] e2,e1-2e2 [B] e1+2e2,e2+2e1 [C] e1-3e2,6e2-2e1 [D] e1-e2,e1-3e2 【答案】 C 【解析】 根据平面向量基底的定义知,向量e1,e2为不共线非零向量,即不存在实数λ,使得e1=λe2. 对于A,向量e2和e1-2e2,不存在实数λ1,使得e2=λ1(e1-2e2),可以作为一个基底; 对于B,向量e1+2e2,e2+2e1,假设存在实数λ2,使得e1+2e2=λ2(e2+2e1),可得此时方程组无解,所以e1+2e2和e2+2e1可以作为基底; 对于C,向量e1-3e2和6e2-2e1,假设存在实数λ3,使得e1-3e2=λ3(6e2-2e1), 可得解得λ3=-,所以e1-3e2和6e2-2e1不可以作为基底; 对于D,向量e1-e2和e1-3e2,假设存在实数λ4,使得e1-e2=λ4(e1-3e2),可得此时方程组无解,所以e1-e2和e1-3e2可以作为基底.故选C. 对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底. (2)一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则x1=x2且y1=y2. [变式训练] 下列关于基底的说法正确的序号是( ) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底; ②基底中的向量可以是零向量; ③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. [A] ①② [B] ①③ [C] ②③ [D] ①②③ 【答案】 B 【解析】 对于①,平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底(只要不共线就行),正确;对于②,零向量和任何一个向量都平行,不能作为基底,错误;对于③,由平面向量基本定理知,基底确定,分解形式也唯一确定,正确,所以①③正确.故选B. 题型二 用基底表示平面向量 [例2] (人教B版必修第二册P161例5)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E ... ...
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