6.3.2—6.3.3 （课件+学案 ） 2025-2026学年高一数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 【课程标准要求】　1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示. 知识点一　平面向量的正交分解 　把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. 如果基底的两个向量e1,e2互相垂直,则称这个基底为正交基底,在正交基底下分解向量,称为正交分解,而正交分解是平面向量基本定理的特殊形式. 知识点二　平面向量的坐标表示 1.基底 在平面直角坐标系中,设与x轴,y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底. 2.坐标 对于平面内的任意一个向量a,有且仅有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标. 3.坐标表示 a=(x,y). 4.特殊向量的坐标 i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 对平面向量坐标的理解 (1)在直角坐标系中(x,y)有双重意义,它既可以表示一个固定的点,也可以表示一个向量. (2)要把点的坐标与向量坐标区别开来.相等的向量的坐标是相同的,但始点、终点的坐标可以不同. 知识点三　平面向量加、减运算的坐标表示 　设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 数学公式 文字表述 向量 加法 a+b=(x1+x2,y1+y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量 减法 a-b=(x1-x2,y1-y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量=(x2-x1,y2-y1),即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 基础自测 1.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a等于(　　) [A] (-2,1) [B] (2,-1) [C] (2,0) [D] (4,3) 【答案】 B 【解析】 由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故选B. 2.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),则向量 的坐标是(　　) [A] (-4,) [B] (4,-) [C] (-8,1) [D] (8,1) 【答案】 C 【解析】 =-=(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1).故选C. 3.(人教A版必修第二册P30练习T2改编)若A(3,1),B(2,-1),则的坐标是(　　) [A] (-2,-1) [B] (2,1) [C] (1,2) [D] (-1,-2) 【答案】 C 【解析】 =(3,1)-(2,-1)=(1,2).故选C. 4.若a=(-2,2),b=(3,-4),c=(1,5),则a+b+c=　　　　. 【答案】 (2,3) 【解析】 a+b+c=(-2+3+1,2-4+5)=(2,3). 题型一　向量的正交分解及坐标表示 [例1] 在平面直角坐标系xOy中,向量a,b的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,则a=　　　　, b=　　　　. 【答案】 (,)　(-,) 【解析】 设点A(x,y),B(x0,y0), 因为|a|=2,且∠AOx=45°, 所以x=2cos 45°=,y=2sin 45°=. 因为|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°, 所以x0=3cos 120°=-, y0=3sin 120°=. 故a==(,),b==(-,). 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标. (2)求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标. [变式训练] 设{i,j}为一组标准正交基,已知=3i-2j,=4i+j,=8i-9j.若=4a,求a在基底{i,j}下的坐标. 【解】 因为=++=(3i-2j)+(4i+j)+(8i-9j)=15i-10j, 又=4a,所以a=i-j. 因此a在基底{i,j}下的坐标为(,-). 题型二　向量加、减运算的坐标表示 [例2] (苏教版必修第二册P31例2)如图,已知点A(-1,3),B(1,-3),C(4,1),D(3,4),求向量,,,的坐标. 【解】 =(-1,3),=(1,-3), =-=(1,-3), =(3,4)-(4,1)=(-1,3). [变式训练] 已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量 等于(　　) [A] (-7,-4) [B] (7,4) [C] (-1,4) [D] (1,4) 【答案】 A 【解析】 设C(x,y),则=(x,y-1)=(-4,-3),即x=-4,y=-2, 故C(-4,-2),则=(-7,-4).故选A. 题型三　向量坐标运算的应用 [例3] 已知O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+t,试问: (1)t为何值时,P在x轴上 在y轴上 在第三象限 (2)四边形OABP能否成为平行四边形 若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由 ... ...