第3课时 余弦定理、正弦定理的综合应用 【课程标准要求】 1.利用余弦定理、正弦定理及推论解三角形, 发展数学抽象及逻辑推理的核心素养.2.借助三角形的面积公式的简单推导和应用,强化逻辑推理及数学运算的核心素养. 知识点 三角形的面积公式 (1)S=a·ha=b·hb=c·hc(ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高). (2)S=absin C=bcsin A=acsin B. (3)S=(a+b+c)·r(r为△ABC内切圆的半径). 知识拓展 三角形的其他面积公式 (1)S=(其中,a,b,c是△ABC的各边长,R是△ABC的外接圆半径). (2)S=(其中p=(a+b+c)). (3)S△ABC=a2·=b2·=c2·. 基础自测 1.在△ABC中,AB=4,C=,S△ABC=4,则AC等于( ) [A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 6 由余弦定理可得cos = AC2+BC2=32,② 由①②解得AC=4(负值舍去).故选C. 2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=,C=,sin B=2sin A,则△ABC的周长是( ) [A] 3 [B] 2+ [C] 3+ [D] 4+ 3.在△ABC中,已知3b=2asin B,且cos B=cos C,A是锐角,则△ABC是( ) [A] 直角三角形 [B] 等腰三角形 [C] 等腰直角三角形 [D] 等边三角形 4.在△ABC中,a2-b2=bc,sin C=2sin B,则 A= . 题型一 判断三角形的形状 [例1] 在△ABC中,已知=,且sin2A+sin2B=sin2C.求证:△ABC为等腰直角三角形. 又因为=,所以=. 所以a2=b2,即a=b. 设===k(k≠0), 则sin A=,sin B=,sin C=. 又因为sin2A+sin2B=sin2C, 所以+=,即a2+b2=c2, 所以△ABC为等腰直角三角形. (1)判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑. (2)在解题中,若出现关于边的齐次式(方程),或关于角的正弦的齐次式(方程),可通过正弦定理,进行边角互化. [变式训练] 在△ABC中,若=2cos A,则此三角形为( ) [A] 直角三角形 [B] 等腰三角形 [C] 等边三角形 [D] 等腰或直角三角形 题型二 三角形的面积公式 [例2] (1)在△ABC中,A=30°,C=45°,a=2,求S△ABC. (2)若△ABC的面积为,BC=2,C=60°,求边AB的长度. 所以B=105°, 由正弦定理得=, b===4sin 105° =4(sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°) =+, S△ABC=absin C=×2×(+)× =1+. 法二 设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理知==4=2R,所以R=2. 又A=30°,C=45°,所以B=105°, 所以S△ABC=2R2sin Asin Bsin C=8×××=+1. (2)法一 由S△ABC=AC·BCsin C=, 得AC=2,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60°=22+22-2×2×2×=4, 所以AB=2,即边AB的长度等于2. 法二 由S△ABC=AC·BC·sin C=, 得AC=2,所以AC=BC=2.又C=60°, 所以△ABC为等边三角形,所以AB=2, 即边AB的长度等于2. 三角形面积计算的解题思路 对于此类问题,一般用公式S=absin C=bcsin A=acsin B进行求解,可分为以下两种情况: (1)若所求面积为多边形的面积,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积. (2)若所给条件为边角关系,则需要运用正弦定理、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解. [变式训练] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tan B=,cos C=,且b=3.求△ABC的面积. 因为cos C=,0
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