7.1.1 数系的扩充和复数的概念 【课程标准要求】 通过复数的基本概念及复数相等的有关知识的学习,培养数学抽象及数学运算的核心素养. 知识点一 复数的有关概念 1.复数 (1)定义:我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1. (2)表示方法:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部. 2.复数集 (1)定义:全体复数所构成的集合叫做复数集. (2)表示:通常用C表示. 对复数的概念的理解 复数a+bi(a,b∈R)中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部. 知识点二 复数的分类 1.复数z=a+bi(a,b∈R) 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点三 复数相等的充要条件 设a,b,c,d都是实数,则a+bi=c+di a=c且b=d,a+bi=0 a=b=0. 复数相等的注意事项 虚数只能研究是否相等,不能比较大小,如果两个复数可以比较大小,则它们只能是实数,否则不能比较大小. 基础自测 1.在2+,i,8+5i,(1-)i,0.618这几个数中,纯虚数的个数为( ) [A] 0 [B] 1 [C] 2 [D] 3 2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是( ) [A] ,1 [B] ,5 [C] ±,5 [D] ±,1 3.(多选题)若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值可以为( ) [A] -1 [B] 2 [C] 1 [D] -2 所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.故选AB. 4.(人教A版必修第二册P70练习T3改编)已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0),则实数x= ,y= . 所以 解得或(舍去). 题型一 复数的有关概念 [例1] (多选题)下列命题不正确的是( ) [A] 1-ai(a∈R)是一个复数 [B] 形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数 [C] 两个复数一定不能比较大小 [D] 若a>b,则a+i>b+i 形如a+bi(b∈R)的数,当b=0时,它不是虚数,故B命题错误; 若两个复数全是实数,则可以比较大小,故C命题错误; 两个虚数不能比较大小,故D命题错误. 故选BCD. (1)若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分. [变式训练] 下列命题正确的个数是( ) ①1+i2=0; ②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i; ③若x2+y2=0,则x=y=0; ④两个虚数不能比较大小. [A] 1 [B] 2 [C] 0 [D] 3 两个虚数不能比较大小,故②错误;④正确. 当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,故③错误.故选B. 题型二 复数的分类 [例2] (苏教版必修第二册P120例2)实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+(m-1)i是: (1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数 (2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数. (3)当m(m-1)=0且m-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数. 判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. [变式训练] 当实数m取什么值时,复数z=+(m2-2m)i是下列数 (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. (2)当即m≠0且m≠2时,复数z是虚数. (3)当即m=-3时,复数z是纯虚数. 题型三 复数相等 [例3] 求适合下列方程的实数x,y的值: (1)(-4x+1)+(y+2)i=0; (2)(x-2y)-(3x+y)i=3-6i. (2)由题意得解得 解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解. [变式训练] 定义:复数b+ai是z=a+bi(a,b∈R)的转置复数,已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+2i=1-bi,则复数z=a+bi的转置复数是 . 得a=1,b=-2, 所以复数z=a+bi=1-2i, 故复数z=1-2i的转置复数是-2+i. (分值:95分) 单选每题5分,多选每题6分. 1.复数z=sin +icos的实部与虚部分别为( ) [A] , [B] , [C] ,i [D] ,i 所以复数z的实部与虚部分别为,. 故选A. 2.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数,则实数m的值为( ) [A] -1 [B] ±1 [C ... ...
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