7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 （课件+学案 ） 2025-2026学年高一数学人教A版（2019）必修第二册

7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 【课程标准要求】　1.通过复数的加、减运算法则和运算律的学习与应用,培养数学抽象及数学运算的核心素养.2.通过复数加、减法的几何意义的学习与应用,提升直观想象及数学运算的核心素养. 知识点一　复数的加、减运算 1.运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. 2.加法运算律 对任意z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1+z2=z2+z1 结合律 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 知识点二　复数加、减法的几何意义 1.复数加法的几何意义 如图,设复数z1,z2对应的向量分别为,,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是. 2.复数减法的几何意义 如图,设,分别与复数z1=a+bi,z2=c+di对应,且,不共线,则这两个复数的差z1-z2与向量-(即)对应. 知识拓展 复数减法的模|z1-z2|的几何意义:|z1-z2|表示复平面上两点Z1,Z2之间的距离. 基础自测 1.复数(1-i)-(2+i)+3i等于(　　) [A] -1+i [B] 1-i [C] i [D] -i 【答案】 A 【解析】 原式=1-i-2-i+3i=-1+i.故选A. 2.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于(　　) [A] 第一象限 [B] 第二象限 [C] 第三象限 [D] 第四象限 【答案】 C 【解析】 z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i. 故z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-3),位于第三象限.故选C. 3.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是(　　) [A] -2 [B] 4 [C] 3 [D] -4 【答案】 B 【解析】 因为z+(3-4i)=1,所以z=-2+4i,故z的虚部是4.故选B. 4.(人教A版必修第二册P77练习T2改编)如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1-z2=　　　　. 【答案】 -2-2i 【解析】 法一　z1-z2对应的向量为-, 由题图知-=(-2,-2), 所以z1-z2=-2-2i. 法二　由题意,知z1=-2-i,z2=i, 所以z1-z2=-2-2i. 题型一　复数的加、减运算 [例1] 复数z1=a+4i,z2=-3+bi,其中a,b为实数,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b等于(　　) [A] 6 [B] -6 [C] -7 [D] 7 【答案】 C 【解析】 因为复数z1=a+4i,z2=-3+bi,a,b为实数,所以z1+z2=(a-3)+(b+4)i. 由z1+z2为实数,得b+4=0,解得b=-4. 又z1-z2=(a+3)+(4-b)i,所以4-b≠0. 由z1-z2为纯虚数,得a+3=0,解得a=-3,所以a+b=-7.故选C. (1)复数的加、减运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部. (2)复数的加、减运算可以类比多项式的加、减运算(类似于合并同类项).若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算. [变式训练] (1)计算:(2-3i)+(-4+2i)=　　　　. (2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,则z=　　　　. 【答案】 (1)-2-i　(2)4+i 【解析】 (1)原式=(2-4)+(-3+2)i=-2-i. (2)因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i. 题型二　复数加、减运算的几何意义 [例2] 如图,已知复平面上的 OACB,O是原点,A,B分别对应复数3+i,2+4i,M是OC,AB的交点.求点C,M对应的复数. 【解】 由于,分别对应复数3+i,2+4i,则=+对应的复数为(3+i)+(2+4i)=5+5i,即点C所对应的复数. =对应的复数为(5+5i)=+i,即点M所对应的复数. 利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数. [变式训练] 如图,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求: (1)表示的复数; (2)表示的复数; (3)表示的复数. 【解】 (1)因为=-, 所以表示的复数为-3-2i. (2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为=+,所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i. 题型三　复平面上两点间的距离公式及其应用 [例3] 已知复数z满足|z+i|=|z-i|,则|z+1+2i|的最小值为(　　) [A] 1 [B] 2 [C] [D] 【答案】 B 【解析】 设复数z在复平面内对应的点为Z,因为复数z满足|z+i|=|z-i|,所以由复数的几何意义可知,点Z到 ... ...