7.2.2　复数的乘、除运算 （课件+学案 ） 2025-2026学年高一数学人教A版（2019）必修第二册

7.2.2　复数的乘、除运算 【课程标准要求】　通过复数的乘、除运算法则,运算律的学习与应用,培养数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 知识点一　复数乘法的运算法则和运算律 1.复数的乘法法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. 2.复数乘法的运算律 对于任意z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 对复数乘法运算法则和运算律的理解 (1)若z=a+bi(a,b∈R),则z·=|z|2. (2)复数的乘法类似于多项式的乘法,只要把i2换成-1,然后实部与虚部分别合并即可. 知识点二　复数的除法法则 1.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0)是任意两个复数,则==+i. 2.在复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为: (1)当Δ≥0时,x=; (2)当Δ<0时,x=. 基础自测 1.(人教A版必修第二册P80练习T1改编)(1+i)(2-4i)等于(　　) [A] 4+4i [B] 2+4+(2-4)i [C] 2-4i [D] 4-2+(4-2)i 2.在复平面内,复数z1,z2对应的点的坐标分别是(2,-1),(0,5),则复数的虚部为(　　) [A] 2 [B] -2 [C] -2i [D] 2i 3.在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　) [A] 第一象限 [B] 第二象限 [C] 第三象限 [D] 第四象限 4.(1-i)(-+i)(1+i)=　　　　. 题型一　复数的乘法运算 [例1] 计算: (1)(1-i)2-(2-3i)(2+3i); (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i; (3)(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi),其中a,b∈R. (2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i. (3)(a+bi)(a-bi)(-a+bi)(-a-bi)=(a2+b2)(a2+b2)=a4+2a2b2+b4. (1)两个复数乘法运算的一般方法. 首先按多项式的乘法展开,再将i2换成-1,然后再进行复数的加、减运算,化简为复数的一般形式. (2)常用公式. ①(a+bi)2=a2+2abi-b2(a,b∈R); ②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R); ③(1±i)2=±2i. [变式训练] (1)(2+i)2等于(　　) [A] 5-4i [B] 5+4i [C] 3-4i [D] 3+4i (2)已知复数z=(1-2i)(4-3i),则复数z在复平面内对应的点位于(　　) [A] 第一象限 [B] 第二象限 [C] 第三象限 [D] 第四象限 (2)因为z=(1-2i)(4-3i)=-2-11i,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-2,-11).所以复数z在复平面内对应的点位于第三象限.故选C. 题型二　复数的除法运算 [例2] 计算:(1)()8;(2). 所以()8=i8=1. (2)====-+i. (1)两个复数除法运算的步骤. ①首先将除式写为分式; ②再将分子、分母都乘分母的共轭复数; ③最后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的一般形式. (2)常用公式. ①=-i;②=i;③=-i. [变式训练] (1)已知z=,则z·等于(　　) [A] 1-2i [B] 1+2i [C] [D] 5 (2)已知复数z满足z(1-i)=3+5i,则z的共轭复数 等于(　　) [A] 4+4i [B] 4-4i [C] -1+4i [D] -1-4i 故z·=(1+2i)(1-2i)=1-4i2=1+4=5.故选D. (2)z====-1+4i,故 =-1-4i.故选D. 题型三　在复数范围内解方程 [例3] 在复数范围内解下列方程: (1)x2=-3;(2)x3=1. 所以±i是方程x2=-3的两个根,也就是-3的两个平方根. 即x=±i. (2)原方程可化为x3-1=0.方程左边可分解因式:x3-1=(x-1)(x2+x+1). 因此,原方程可变形为(x-1)(x2+x+1)=0. 即x-1=0或x2+x+1=0. 若x-1=0,则x=1. 若x2+x+1=0, 则(x+)2=-. 又(±i)2=-, 所以x+=±i, 即x=-±i. 于是方程x3=1在复数范围内有三个根,分别为1,-+i,--i. 当一元二次方程中Δ<0时,在复数范围内有两根且互为共轭复数. [变式训练] 已知2-i是关于x的方程x2-mx+n=0(m,n∈R)的一个根. (1)求m,n的值; (2)若z=a2-na+m+(a-m)i是纯虚数,求实数a的值和|z|. 整理得3-2m+n+(m-4)i=0, 因此所以m=4,n=5. (2)由(1)知,z=a2-5a+4+(a-4)i, 由z是纯虚数,得 解得a=1,则z=-3i, 所以|z|==3. (分值:95分) 单 ... ...