第六章 章末复习提升（课件+学案 ） 2025-2026学年高一数学人教A版（2019）必修第二册

章末复习提升 题型一　向量的线性运算及应用 1.进行几何表示的向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解. 2.向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此,对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面. 3.向量的线性运算要注意数形结合的运用,提升数学运算和逻辑推理的核心素养. [典例1] 若P是△ABC的外心,且++λ=0,C=120°,则实数λ的值为(　　) [A] -1 [B] - [C] - [D] 以上三个选项均不正确 【答案】 A 【解析】如图所示,设AB的中点为D,则+=2. 由++λ=0, 得2+λ=0, 所以向量,共线,又P是△ABC的外心,所以PA=PB,所以PD⊥AB,从而CD⊥AB. 因为∠ACB=120°,所以∠APB=120°,即四边形APBC是菱形,于是+=2=, 所以2+λ=+λ=0, 所以λ=-1.故选A. [跟踪训练] 已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　. 【答案】 【解析】 由题意可得2a+b=(4,2).因为c∥(2a+b),c=(1,λ),所以4λ-2=0,即λ=. 题型二　向量的数量积及应用 1.平面向量的数量积是向量的核心内容,重点是数量积的运算,利用向量的数量积判断两向量垂直,求两向量的夹角,计算向量的长度等. 2.通过向量的数量积运算,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. [典例2] 已知Ai(i=1,2,…,6)是边长为2的正六边形A1A2A3A4A5A6的一个顶点,则·的最小值和最大值分别是(　　) [A] -8,8 [B] -4,8 [C] -4,12 [D] -8,12 【答案】 C 【解析】 由题意,在边长为2的正六边形中,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A1(0,0),A2(2,0),A3(3,),A4(2,2),A5(0,2),A6(-1,), 所以=(2,2),=(-2,0),=(1,),=(0,2),=(-2,2), =(-3, ), 则·=2×(-2)=-4, ·=0,·=2+6=8, ·=2×2=12, ·=-4+12=8, ·=-6+6=0, 显然·=12为最大值,·=-4为最小值.故选C. [跟踪训练] (2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x等于(　　) [A] -2 [B] -1 [C] 1 [D] 2 【答案】 D 【解析】 因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0即4+x2-4x=0,故x=2.故选D. 题型三　利用余弦定理、正弦定理解三角形 1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形,判断三角形的形状、求三角形的面积,以及余弦定理、正弦定理简单的综合应用. 2.借助解三角形,培养逻辑推理、数学运算的核心素养. [典例3] (2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+ cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 【解】 (1)法一　(辅助角公式)由sin A+cos A=2可得sin A+cos A=1,即sin(A+)=1, 由于A∈(0,π) A+∈(,),故A+=,解得A=. 法二　(同角三角函数的基本关系) 由sin A+cos A=2, 又sin2A+cos2A=1, 联立消去sin A可得 4cos2A-4cos A+3=0 (2cos A-)2=0,解得cos A=, 又A∈(0,π),故A=. 法三　(利用万能公式求解)设t=tan , 根据万能公式, sin A+cos A=2=+, 整理可得,t2-2(2-)t+(2-)2=0, 化简得[t-(2-)]2=0, 解得t=2-, 根据二倍角公式,tan A==, 又A∈(0,π),故A=. (2)由题设条件和正弦定理, bsin C=csin 2B sin Bsin C=2sin C·sin Bcos B. 又B,C∈(0,π),则sin Bsin C≠0, 进而cos B=,得B=, 于是C=π-A-B=, sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=, 由正弦定理可得==, 即==, 解得b=2,c=+, 故△ABC的周长为2+3+. [跟踪训练] 如图,在四边形ABCD中,∠DAB=,B=,且△ABC的外接圆半径为4. (1)若BC=4,AD=2,求△ACD的面积; (2)若D=,求BC-AD的最大值. 【解】 (1)因为B=,△ABC的外接圆半径为4,所以=8,解得AC=4. 在△ABC中,BC=4,则==8,解得sin∠CAB=. 又∠CAB∈(0,),所以∠CAB=. 在△ACD中,AC=4, ∠DAC=-∠CAB=,AD=2, 所以S△ACD=×4×2×=4. (2)设∠DAC=θ,θ∈(0,). 又D=,所以∠ACD=-θ. 因为∠DAB ... ...