2.1.1 倾斜角与斜率 【课程标准要求】 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 知识点一 直线的倾斜角 1.定义 当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 2.范围 当直线l与x轴平行或重合时,直线l的倾斜角为0°,直线倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 在倾斜角的定义中,要注意三个条件:①x轴的正向;②直线向上的方向;③小于平角的非负角. 知识点二 直线的斜率 1.斜率的定义 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即 k=tan α. 倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率. 知识拓展 直线的倾斜角是一个角(图形),而斜率是一个实数值(数),斜率的绝对值越大,直线的倾斜角越接近90°. 图示 倾斜角(范围) 斜率(范围) α=0° k=0 0°<α<90° k>0 α=90° 不存在 90°<α<180° k<0 2.斜率公式 如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),那么可得斜率公式k=. 在平面直角坐标系中,倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜 程度. 知识点三 直线的方向向量 设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点,则向量=(x2-x1,y2-y1)以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则 k=. 基础自测 1.直线x=的倾斜角为( ) [A] 0° [B]45° [C]90° [D]120° 2.已知直线的倾斜角为,则直线的一个方向向量为( ) [A] (1,) [B](,1) [C](1,-) [D](-,1) 3.(人教A版选择性必修第一册P55练习T3改编)经过两点A(2,7),B(4,6)的直线的斜率为 . 题型一 直线的倾斜角 [例1] (1)若直线l的一个方向向量为v=(-,1),则该直线的倾斜角大小为( ) [A] 60° [B]30° [C]150° [D]120° (2)求图中各直线的倾斜角. 直线倾斜角的求法及注意点 (1)直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的取值范围. [变式训练] 设直线l过坐标原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为( ) [A]α+45° [B]α-135° [C] 135°-α [D]当0°≤α<135°时为α+45°,当135°≤α<180°时为α-135° 题型二 直线的斜率 [例2] 求经过两点A(2m,1),B(m,2)(m∈R)的直线l的斜率. 当2m≠m,即m≠0时,直线l的斜率k==-. 解决斜率问题的方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围),利用定义式k=tan α(α≠90°)解决. (2)由两点坐标求斜率,运用两点斜率公式k=(x1≠x2)求解. [变式训练] (1)若经过点A(1-a,1+a)和点B(3,a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的值可能为( ) [A] 0 [B] -2 [C] -4 [D] -6 (2)已知直线l1的倾斜角比直线l2:y=-xtan 80° 的倾斜角大20°,则l1的斜率为( ) [A] - [B] [C]- [D] 题型三 倾斜角及斜率的应用 [例3] (1)(苏教版选择性必修第一册P9习题T5)设m为实数,若A(1,2),B(3,m),C(7,m+2)三点共线,求m的值. (2)已知点A(-1,2),B(2,),P(1,0),点Q是线段AB上的动点. ①求直线PQ的斜率的范围; ②求直线PQ的倾斜角的范围. (1)用斜率公式解决三点共线的方法 (2)求代数式的最值或范围的方法 由斜率公式k=的形式,可知代数式的几何意义是过P(x,y)与P'(a,b)两点的直线的斜率.故可以利用数形结合来求解. [变式训练] (1)已知A(1,-3),B(8,),C(9,λ),且A,B,C三点共线,则λ等于( ) [A] -1 [B] 0 [C] 1 [D] 2 (2)已知A(2,-3),B(-3,-2),P(1,1),直线l过点B,且与线段AP相交,则直线l的斜率k的取值范围是( ) [A] [,4] [B][-,] [C](-∞,]∪[4,+∞) [D](-∞ ... ...
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