2.2.1 直线的点斜式方程 【课程标准要求】 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题. 知识点一 直线的点斜式方程 项目 点斜式 已知条件 点P(x0,y0)和斜率k 图示 方程形式 y-y0=k(x-x0) 适用条件 斜率存在 经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类:①斜率存在的直线,方程为y-y0=k(x-x0);②斜率不存在的直线,方程为x=x0. 知识点二 直线的斜截式方程 项目 斜截式 已知条件 斜率k和直线在 y轴上的截距b 图示 方程形式 y=kx+b 适用条件 斜率存在 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. (2)直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. 基础自测 1.直线y+2=(x-4)的倾斜角及在y轴上的截距分别是( ) [A],6 [B],-6 [C],6 [D],-6 所以θ=,当x=0时,y+2=×(-4)=-4,得y=-6.故选B. 2.若直线l的斜率为-,在x轴上的截距为-1,则l的方程为( ) [A] y=-x- [B]y=-x+ [C]y=-2x-2 [D]y=-2x-1 3.(人教A版选择性必修第一册P61练习T1改编)若直线l经过点A(1,-2),倾斜角为,则直线l的点斜式方程是 . 题型一 直线的点斜式方程 [例1] (北师大版选择性必修第一册P10例7)求出经过点P(-1,2)且满足下列条件的直线的方程,并画出直线. (1)倾斜角为;(2)与x轴垂直;(3)与 x轴平行. 所以该直线的斜率为k=tan =. 因为直线经过点P(-1,2)且斜率为, 所以该直线方程的点斜式为y-2=[x-(-1)],化简,得x-y++2=0(如图①). (2)因为直线经过点P(-1,2)且与x轴垂直,所以该直线的方程为x=-1(如图②). (3)因为直线经过点P(-1,2)且与x轴平行,即斜率k=0,所以该直线的方程为y=2(如图③). 求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤:定点(x0,y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0). (2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点 P(x0,y0)的所有直线,但直线x=x0除外. [变式训练] 根据条件写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(-4,3),斜率k=3; (2)经过点B(-1,4),倾斜角为135°. (2)由题意知,直线的斜率k=tan 135°=-1,故所求直线的点斜式方程为y-4=-(x+1). 题型二 直线的斜截式方程 [例2] 根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2,在y轴上的截距是5; (2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2; (3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3. (2)因为所求直线的倾斜角为150°, 所以斜率k=tan 150°=-. 所以所求直线的方程为y=-x-2. (3)因为直线的倾斜角为60°, 所以斜率k=tan 60°=. 因为直线与y轴的交点到原点的距离为3, 所以直线在y轴上的截距b=3或b=-3. 故所求直线的方程为y=x+3或y=x-3. 直线的斜截式方程的求解策略 (1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距,代入方程即可. (2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程. [变式训练] (1)直线y=2x-3在y轴上的截距是( ) [A] 3 [B]2 [C]-2 [D]-3 (2)一条直线过点A(0,2),它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍,则这条直线的方程是 . (2)因为直线y=x的斜率为,所以其倾斜角为30°,所以所求直线的倾斜角为60°,斜率 k=.直线过点A(0,2),即直线在y轴上的截距为2.由斜截式易得这条直线的方程为y=x+2. 题型三 斜截式方程的应用 [例3] 已知直线l1:y=-x+3a与直线l2:y=(a2-5)x+6. (1)当a为何值时,l1∥l2 (2)当a为何值时,l1⊥l2 则k1=-1,k2=a2-5.当l1∥l2时,有解得a=-2. (2)当l1⊥l2时,k1k2=-1, 即a2-5=1, 所以a2=6,所以a=±. 根据斜截式方程判定两条直线平行和垂直 (1)平行的判定 (2)垂直的判定 [变式训练] (1)若直线y=kx-2与直线y=3x垂直,则k等于( ) [A] 3 [B] [C]-3 [D]- (2)直线l1与直线l2:y=3x+1平行,又直线l1过点(3,5),则 ... ...
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