中小学教育资源及组卷应用平台 2027通用版高考数学第一轮 高考热点9 立体几何中的存在和动态问题 类型1 存在性问题的探索 1.★★★★(多选)(2026届湖南长沙雅礼中学月考,11)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别在棱AA1,AB,AD上(不与棱的端点重合),M为棱CC1的中点,则下列说法正确的是 ( ) A.若平面EFG与正方体的每条棱的夹角都相同,则直线BD∥平面EFG B.三角形EFG不可能为直角三角形 C.若G,F分别为棱AD,AB的中点,则存在点E,使得AM⊥平面EGF D.若二面角A-GF-E的余弦值为,二面角A-EF-G的余弦值为,则二面角A-EG-F的余弦值为 2.★★★★(2026届山东寿光一中月考,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=∠ADP=90°,且AB=PB=2,PA=2,BC=CD=1,E为PA中点. (1)证明:DE∥平面PBC; (2)证明:PB⊥平面ABCD; (3)在线段PD上是否存在点M,使得平面MAB与平面MBC夹角的余弦值为 若存在,求出点M的位置;若不存在,请说明理由. 3.★★★★(2026届江苏南京第二十九中学开学考,17)如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别为AD,BC的中点,沿EF将四边形EFCD折起,使二面角A-EF-C的大小为60°,M为线段AB上一点. (1)若M为线段AB中点,设直线MF与直线EA的交点为H,证明:HD∥平面EMC; (2)是否存在点M,使得直线DE与平面EMC所成的角为60° 若存在,求此时线段AM的长;若不存在,请说明理由. 类型2 动态问题的探索 1.★★(2025届河北名校联考,3)正四棱锥P-ABCD底面边长与侧棱长均为2,O为空间任一点,且满足=0,则线段OP长度的取值范围为 ( ) A.[,+1] B.[,+1] C.[-1,+1] D.[-1,+1] 2.★★(2026届河南部分学校期中,7)在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是B1C1上靠近点B1的三等分点.设集合Q是底面ABCD内(含边界)所有的点构成的集合,集合H={I∈Q|ID1
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