高考热点12　圆锥曲线中的存在性(探索性)问题--2027通用版高考数学第一轮章节练（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 2027通用版高考数学第一轮 高考热点12　圆锥曲线中的存在性(探索性)问题 1.★★★(2025届湖北武汉外国语学校月考,18)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且经过点A. (1)求椭圆E的方程; (2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程; (3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点 若存在,请找出;若不存在,说明理由. 2.★★★★(2026届辽宁大连部分高中联考,19)已知椭圆C:=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,点P为C上一点,连接PF1,PF2,有|PF1|+|PF2|=4. (1)求椭圆C的方程; (2)取C上一点M,连接F2M,存在直线l:x=2,过点M作MN⊥l于点N,求; (3)直线l1交C于另两点A,B,且直线AB的斜率恒为,连接F2A,F2B,设∠F2BA=α,∠F2AB=β,判断|sin α-sin β|和sin(α+β)的数量关系并证明. 3.★★★★(2026届浙江9+1联盟期中,18)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为4,焦点到渐近线的距离为,A,B是双曲线C上关于原点O对称的两点,且点A在第一象限,点T的坐标为(3,0). (1)求双曲线C的方程. (2)若∠ATB=90°,求△ATB的面积. (3)记直线AT,BT与双曲线C的另一个交点分别为P,Q,直线AB,PQ的斜率分别为k1,k2,是否存在实数λ,使得k2=λk1恒成立 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 4.★★★★★(2026届湖北荆州月考,19)已知焦点在x轴上的椭圆C:=1(b>0),点P,Q是椭圆C上的两点,且位于x轴上方,T(t,0)为x轴上一点,O为坐标原点. (1)当点Q在y轴上,t=1,且△QOT的面积为时,求椭圆C的离心率; (2)若点P在第一象限,A,B分别为椭圆的上顶点和右顶点,直线PA,PB分别与x轴和y轴交于点M,N.记△PMN,△PAB的面积分别为S1,S2,若S1-S2为定值2,求椭圆C的标准方程; (3)对于(2)所求的椭圆C,是否存在实数t,使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形 若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由. 高考热点12　圆锥曲线中的存在性(探索性)问题 1.★★★(2025届湖北武汉外国语学校月考,18)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且经过点A. (1)求椭圆E的方程; (2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程; (3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点 若存在,请找出;若不存在,说明理由. 解析　(1)由题意得 解得 所以椭圆E的方程为=1. (2)由(1)可知,F1(-2,0),F2(2,0). 由题意可知:5x-12y+10=0,:x=2, 设角平分线所在直线上任意一点为P(x,y),则=|x-2|, 化简得9x-6y-8=0或2x+3y-9=0. 又易知l的斜率为正, ∴∠F1AF2的平分线所在直线l的方程为9x-6y-8=0. (3)解法一　假设存在关于直线l对称的相异两点B(x1,y1),C(x2,y2), 设lBC:y=-x+m, 联立 消去y可得9x2-12mx+9m2-45=0, 故x1+x2=,x1x2=m2-5. ∵线段BC的中点在l上, ∴6m-m-8=0,解得m=3. 因此中点与点A重合,舍去, 故不存在满足题设条件的相异两点. 解法二　假设存在关于直线l对称的相异两点B(x1,y1),C(x2,y2),线段BC中点M(x0,y0), 由点差法可得 即=0. ∴kBC=,因此kOM=, 联立与点A重合,舍去, 故不存在满足题设条件的相异两点. 2.★★★★(2026届辽宁大连部分高中联考,19)已知椭圆C:=1(a>0,b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,点P为C上一点,连接PF1,PF2,有|PF1|+|PF2|=4. (1)求椭圆C的方程; (2)取C上一点M,连接F2M,存在直线l:x=2,过点M作MN⊥l于点N,求; (3)直线l1交C于另两点A,B,且直线AB的斜率恒为,连接F2A,F2B,设∠F2BA=α,∠F2AB=β,判断|sin α-sin β|和sin(α+β)的数量关系并证明. 解析　(1)因为|PF1|+|PF2|=4=2a,所以a=2, 又e=,则c=, 因此b=, 故椭圆C的方程为=1. (2)设M(x0,y0),则N(2,y0),由M点在椭圆上得=1,则, 由c=得F2(,0), 因此|MF2|= =(2-x0), 又|MN|=2-x0, 所以. (3)|sin α-sin β|=sin(α+β). 【一般采用特殊值探究结论,如本题可取直线AB为过两 ... ...