2.5.2 圆与圆的位置关系 【课程标准要求】 1.能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系.2.能用圆和圆的方程解决一些简单的问题,体会用代数方法处理几何问题的思想. 知识点 圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种,分别为外离、外切、相交、内切、内含. 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法 若两圆的半径分别为r1,r2,两圆圆心距的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下: 位置 关系 图示 d与r1,r2的关系 外离 d>r1+r2 外切 d=r1+r2 相交 |r1-r2|
0),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2= 0(+-4F2>0),联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切 或外切 外离 或内含 (1)利用代数法判断两圆位置关系时,当方程组无解或有一组解时,无法判断两圆的位置关系,应优先使用几何法. (2)两圆相交时,其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到. 基础自测 1.圆(x-4)2+y2=9和圆x2+(y-3)2=4的位置关系是( ) [A]外离 [B]相交 [C]外切 [D]内含 【答案】 C 【解析】 圆(x-4)2+y2=9的圆心为(4,0),半径为3, 圆x2+(y-3)2=4的圆心为(0,3),半径为2,两圆的圆心距为=5=2+3, 即两圆的圆心距等于半径和,所以两圆外切.故选C. 2.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0相内切,则实数m的值为( ) [A]-9 [B]-11 [C]9 [D]11 【答案】 B 【解析】 圆C1:x2+y2=1的圆心及半径为C1(0,0),r1=1,圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0可化为(x-4)2+(y+3)2=25-m(m<25), 则其圆心及半径为C2(4,-3),r2=,C2(4,-3)在圆C1:x2+y2=1的外面, 因为圆C1与圆C2相内切, 所以|C1C2|=r2-r1, 即r2=+1=6=, 解得m=-11.故选B. 3.(人教A版选择性必修第一册P98练习T2改编)圆C1:x2+y2-1=0与圆C2:x2+y2-2x+4y=0的公共弦所在直线的方程是 . 【答案】 2x-4y-1=0 【解析】 由题意,因为圆C1:x2+y2-1=0①,圆C2:x2+y2-2x+4y=0②, 由①-②得,2x-4y-1=0, 所以两圆的公共弦所在的直线方程为2x-4y-1=0. 题型一 圆与圆位置关系的判定 [例1] 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为: (1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含. 【解】 圆C1,C2的方程,经配方后可得 C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, 所以圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1. 所以|C1C2|==a. (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切; 当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切. (2)当3<|C1C2|<5,即35,即a>5时,两圆外离. (4)当|C1C2|<3,即0