3.1.1 椭圆及其标准方程 【课程标准要求】 1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标准方程. 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值. (2)定值必须大于两定点间的距离. (3)当距离的和等于|F1F2|时,点的轨迹是线段. (4)当距离的和小于|F1F2|时,点的轨迹不存在. 知识点二 椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的关系 c2=a2-b2 椭圆的标准方程的特征 (1)几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x轴或y轴上. (2)代数特征:方程右边为1,左边是关于与(与)的平方和,并且分母为不相等的正值. 基础自测 1.设P是椭圆+=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) [A]2 [B]2 [C]2 [D]10 【答案】 C 【解析】 椭圆+=1中a=,所以P到该椭圆的两个焦点的距离之和2a=2.故选C. 2.(人教A版选择性必修第一册P109练习T2改编)若椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点(0,2),c=3,则该椭圆的标准方程为( ) [A]+=1 [B]+=1 [C]+=1 [D]+=1 【答案】 B 【解析】 椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点(0,2),所以b=2,又c=3,所以a2=b2+c2=4+9=13,所以椭圆方程为+=1.故选B. 3.若方程x2+=1表示椭圆,则k的取值范围为( ) [A](2,+∞) [B](2,3) [C](3,+∞) [D](2,3)∪(3,+∞) 【答案】 D 【解析】 因为方程x2+=1表示椭圆,所以k-2>0,且 1≠k-2, 解得k∈(2,3)∪(3,+∞).故选D. 4.椭圆的焦点坐标为(-3,0)和(3,0),椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为 . 【答案】 +=1 【解析】 依题意,2a=10,则a=5,而椭圆半焦距c=3,因此b===4,所以所求椭圆标准方程是+=1. 题型一 椭圆的定义 [例1] 如图所示,已知过椭圆 +=1的右焦点F2的直线AB交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.若 |F1A|+|F1B|=12,试求弦AB的长. 【解】 由椭圆方程+=1可得a=5, 故由椭圆定义有|AF1|+|AF2|=2a=10, |BF1|+|BF2|=2a=10, 又|AF2|+|BF2|=|AB|, 所以|AB|=(|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|)-(|F1A|+|F1B|)=20-12=8. 故弦AB的长为8. 椭圆定义的双向运用 判断 (正用) 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆 求值 (逆用) 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a [变式训练] 椭圆+=1上的一点M到左焦点F1的距离为2,点N是MF1的中点,则|ON|等于 . 【答案】 3 【解析】 设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=8,知|MF2|=8-2=6. 又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,所以|ON|=|MF2|=3. 题型二 求椭圆的标准方程 [例2] (北师大版选择性必修第一册P51例2)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,-2),F2(0,2),并且经过点P(-,),求椭圆的标准方程. 【解】因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0). 根据椭圆的定义知 2a=+ =+ =2. 从而a=. 又c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6. 所以椭圆的标准方程为+=1. 其图形如图. [典例迁移1] 经过P1(,1),P2(-,-)两点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 +=1 【解析】 ①当焦点在x轴上时,设椭圆方程为+=1(a>b>0). 由已知,得 即所求椭圆的标准方程是+=1. ②当焦点在y轴上时, 设椭圆方程为+=1(a>b>0), 由已知,得 与a>b>0矛盾,此种情况不存在. 综上,所求椭圆的标准方程是+=1. [典例迁移2] 已知M为圆P:(x+2)2+y2=36上的一个动点,定点Q(2,0),线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点,则N点的轨迹方程为( ) [A]+=1 [B]+=1 [C]+=1 [D]+=1 【答案】 C 【解析】 根据题意,作图, 易知|NM|=|NQ|, 则|NP|+ ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
