3.1.2　椭圆的简单几何性质 (课件+学案) 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修1

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 【课程标准要求】　1.掌握椭圆的简单几何性质,了解椭圆标准方程中a,b,c的几何意义.2.会求椭圆的离心率.3.通过椭圆与方程的学习,了解椭圆的简单应用,进一步体会数形结合的思想. 知识点　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a 顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) 轴长 长轴长=2a,短轴长=2b 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 |F1F2|=2c 对称性 对称轴为x轴和y轴,对称中心为(0,0) 离心率 e=(00,m2-1>0,解得m=2,所以椭圆的标准方程为+=1, 所以a2=3,即a=,所以长轴长2a=2. 题型一　由椭圆标准方程研究几何性质 [例1] (苏教版选择性必修第一册P89例1)求椭圆 +=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆. 【解】 根据椭圆的方程+=1,得 a=5,b=3,c==4, 所以,椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=6,离心率e==,焦点为F1(-4,0),F2(4,0), 顶点为A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3). 将方程变形为y=±, 根据y= 算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示). x 1 2 3 4 y 2.94 2.75 2.4 1.8 先描点画出在第一象限内的图形,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图). 用标准方程研究椭圆几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式. (2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a,b,c. (4)写出椭圆的几何性质. [变式训练] (1)(多选题)已知椭圆C:+=1,则椭圆C的(　　) [A]焦点在x轴上 [B]长轴长为10 [C]短轴长为4 [D]离心率为 (2)若焦点在y轴上的椭圆+=1的离心率为,则m的值为　　　　. 【答案】 (1)BD　(2) 【解析】 (1)在椭圆C:+=1中,a=5,b=4,c===3, 对于A选项,椭圆C的焦点在y轴上,A错误; 对于B选项,椭圆C的长轴长为10,B正确; 对于C选项,椭圆C的短轴长为8,C错误; 对于D选项,椭圆C的离心率为e==,D正确.故选BD. (2)由题知a=,c=,所以=,解得m=. 题型二　利用几何性质求标准方程 [例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6; (2)过点(3,0),离心率e=. 【解】 (1)依题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0). 如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高), 且|OF| ... ...