1.1.1 空间向量及其线性运算 第1课时 空间向量及其线性运算 【课程标准要求】 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量的概念.2.经历平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算及其运算律,体会数学运算在研究几何问题中的作用. 知识点一 空间向量的有关概念 1.在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母a,b,c,…表示,也用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模,若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或||. 2.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量,记为0 单位 向量 模为1的向量叫做单位向量 相反 向量 与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量,记为-a 共线 向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a 相等 向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 (1)零向量长度为0,并规定零向量的方向是任意的.当有向线段的起点A与终点B重合时,=0. (2)单位向量的模为1.这里的1表示一个单位长度.根据实际情况,“1”可以是1 m,也可以是 1 mm 等. 知识点二 空间向量的加、减运算 加法 运算 三角形 法则 语言 叙述 首尾顺次相接,首指向尾为和 图形 叙述 平行四 边形 法则 语言叙述 以共起点的两边为邻边作平行四边形,共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点,连终点,方向指向被减向量 图形 叙述 运算 律 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 知识拓展 (1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即+++…+=. (2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即+++…+=0. 知识点三 空间向量的数乘运算 名称 代数形式 几何形式 运算律 数乘运算 当λ>0时,λa=λ=; 当λ<0时,λa=λ=; 当λ=0时,λa=0 结合律: λ(μ a)=(λμ)a; 分配律: (λ+μ)a=λa+μ a, λ(a+b)=λa+λb (1)当λ=0或a=0时,λa=0. (2)λ的正负影响向量λa的方向,λ的绝对值的大小影响λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量. 基础自测 1.下列说法正确的是( ) [A] 若|a|<|b|,则a
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