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课件网) 1.2 空间向量基本定理 第1课时 空间向量基本定理 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.会用基底表示空间向量. 3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法. 【课程标准要求】 必备知识·归纳落实 知识点一 空间向量基本定理 1.定理 条件 三个 的向量a,b,c和 空间向量p 结论 存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 p= 不共面 任意一个 xa+yb+zc 2.基底 三个向量a ,b,c ,把 叫做空间的一个基底, 都叫做基向量. 不共面 {a,b,c} a ,b,c ·疑难解惑· (1)基底中不能有零向量.因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量,与任意两个非零向量都共面. (2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 知识点二 空间向量的正交分解 1.单位正交基底 特别地,如果空间的一个基底中的三个基向量 ,且长度都为 ,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示. 2.正交分解 把一个空间向量分解为三个 的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 两两垂直 1 两两垂直 ·疑难解惑· “单位”是指三个基向量的长度都是1,“正交”是指三个基向量两两垂直. 基础自测 1.下列说法正确的是( ) [A] 任何三个不共线的向量可构成空间的一个基底 [B]空间的基底有且仅有一个 [C]两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 [D]任意一个空间向量p在基底{a,b,c}下的分解式与在基底{e,f,g}下的分解式相同 C 【解析】 任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底,故A错误; 空间的基底有无数个,故B错误; 两两垂直的三个非零向量不共面,故可构成空间的一个基底,故C正确; 由于基底不唯一,故分解式不一定相同,故D错误.故选C. 2.(人教A版选择性必修第一册P15习题1.2 T2改编)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( ) [A] b+c,b,b-c [B]a+b,a,a-b [C]a+b,a-2b,c [D]a+b,a+b+c,c C 关键能力·素养培优 [例1] 已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以和 a+b,c构成空间的另一个基底的向量为( ) [A] a+b+c [B]a+b-c [C]2a+2b+c [D]2a+b+c 题型一 对空间向量基本定理的理解 D 【解析】 因为{a,b,c}是空间的一个基底,可知向量a,b,c不共面, 因为a+b+c=(a+b)+c,可知a+b,c,a+b+c为共面向量,不能作为基底,故A错误; 因为a+b-c=(a+b)-c,可知a+b,c,a+b-c为共面向量,不能作为基底,故B错误; 因为2a+2b+c=2(a+b)+c,可知a+b,c,2a+2b+c为共面向量,不能作为基底, 故C错误; ·解题策略· 判断基底的基本思路 (1)判断三个向量能否构成空间的一个基底,实质是判断这三个向量是否共面,若不共面,就可以构成一个基底. (2)判断基底时,常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体,用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底,并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. [变式训练] 若{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且 {e1+e2,e2+e3,e1+te3}不能构成空间的一个基底,则t等于( ) [A] -1 [B]1 [C]0 [D]-2 A 题型二 用基底表示空间向量 ·解题策略· 用基底表示向量的步骤 感谢观看第2课时 空间向量基本定理的应用 题型一 证明空间位置关系 [例1] 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD是边长为3的菱形,PC=4,∠ABC=∠BCP= ∠DCP=120°. 利用空间向量证明PA⊥BD. 则{a,b,c}构成空间的一个基底, =-=b-a, =++=a+b+c, 所以·=(b-a)·(a+b+c) =b2-a2+b·c-a·c =32-32+3×4×cos 60°-3×4×cos 60°=0, 所以PA⊥BD. 证明平行、垂直问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或两直线平行. (2)把要证的线面垂直转化为线线垂直,再转化为两直线的方向向量的数量积为0. [变式训练] 如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,点Q,R分别是O1B ... ...
