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课件网) 1.3 空间向量及其 运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 【课程标准要求】 必备知识·归纳落实 知识点一 空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴: 、 、 ,它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系 . i,j,k x轴 y轴 z轴 Oxyz 2.相关概念 叫做原点,i,j,k都叫做 向量,通过 的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成 个部分. 3.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 的正方向,食指指向 的正方向,如果中指指向 的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. O 坐标 每两条坐标轴 八 x轴 y轴 z轴 ·疑难解惑· (1)单位正交基向量:|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时,一般使 ∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°. 『知识拓展』 空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) 知识点二 空间向量的坐标 (x,y,z) x y z (x,y,z) 『知识拓展』 与向量坐标有关的重要结论 (1)向量a的坐标实质是向量a的单位正交分解的系数. (2)两向量相等等价于它们对应的坐标相等,即设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a=b x1=x2,y1=y2,z1=z2. 基础自测 1.已知点A(-3,0,-4),点A关于原点的对称点为B,则点B的坐标是( ) [A] (3,0,-4) [B](-3,0,4) [C](-4,0,-3) [D](3,0,4) D 【解析】 因为点(x,y,z)关于原点的对称点的坐标为(-x,-y,-z), 所以点A(-3,0,-4)关于原点的对称点B的坐标是(3,0,4).故选D. 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=3,AA1=1.以这个长方体的顶点A为原点,射线AB,AD,AA1分别为 x轴,y轴,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,则长方体顶点C1的坐标是( ) [A] (2,3,1) [B](3,2,1) [C](2,-3,1) [D](-3,2,1) A 【解析】如图,建立空间直角坐标系. 因为AB=2,AD=3,AA1=1, 所以C(2,3,0),A1(0,0,1), 因为点C1在Axy平面上的射影是C, 点C1的横坐标、纵坐标和点C的横坐标、纵坐标相同, 又点C1在z轴上的射影是A1, 它的竖坐标与点A1的竖坐标相同, 所以点C1的坐标为(2,3,1). 故选A. 关键能力·素养培优 [例1] (湘教版选择性必修第二册P59例2)长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为|AB|=8,|AD|=3,|AA'|=5.建立适当的空间直角坐标系,并求顶点A,B, C,D,A',B',C',D'的坐标. 题型一 空间中点的坐标 【解】如图,以A为原点,分别以有向直线AB,AD,AA'为x轴,y轴,z轴的正方向,以1为单位长度,建立空间直角坐标系A-xyz,则点A,B,C,D都在平面 xAy 内,因而其竖坐标z都为0. 因此A,B,C,D的坐标分别是A(0,0,0),B(8,0,0),C(8,3,0),D(0,3,0). 由于点A′,B′,C′,D′都在一个垂直于z轴的平面A′B′C′D′内,又|AA′|=5, 所以这四点的竖坐标z都是5. 又过A′,B′,C′,D′分别作xAy平面的垂线,垂足分别为A,B,C,D, 因此A′,B′,C′,D′的横坐标x、纵坐标y分别与A,B,C,D的横坐标x、纵坐标y 相同. 因此,A′,B′,C′,D′的坐标分别是A′(0,0,5),B′(8,0,5),C′(8,3,5),D′(0,3,5). ·解题策略· 求空间一点P的坐标的两种方法 (1)利用点在坐标轴上的射影求解. [变式训练] 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,若PA=3, AB=2,AC=2,建立适当的空间直角坐标系. (1)求各顶点的坐标; 【解】 (1)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC, ... ...
