1.3.2 空间向量运算的坐标表示 【课程标准要求】 1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.2.掌握空间向量数量积的坐标表示,并利用数量积判断两向量的共线与垂直. 知识点一 空间向量运算的坐标表示 1.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b (a1+b1,a2+b2,a3+b3) 减法 a-b (a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数乘 λa (λa1,λa2,λa3) 数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3 2.设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致. (2)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量,用坐标表示;数量积的结果为数量. 知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 1.若a≠0,b≠0,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 共线 a∥b a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0 向量的模 |a|== 夹角公式 cos
== 2.空间两点间的距离公式 设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).P1P2=||=. (1)要证明a⊥b,就是证明a·b=0;要证明a∥b,就是证明a=λb(b≠0). (2)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若a∥b,则 ==成立的条件是x2y2z2≠0. 基础自测 1.在空间直角坐标系中,若A(1,-1,3),=(5,0,2),则点B的坐标为( ) [A] (-4,-1,1) [B](6,-1,5) [C](4,1,-1) [D](6,-1,-1) 2.设 x∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,-2,1),且 a⊥b,则|a+b|等于( ) [A] 2 [B]2 [C]4 [D]3 所以a=(1,1,1),则a+b=(2,-1,2),所以 |a+b|==3.故选D. 3.已知向量a=(2,1,1),b=(0,-1,-1),若(a+λb)∥(a-b),则λ等于( ) [A] -2 [B]2 [C]-1 [D]1 所以 a+λb=(2,1,1)+λ(0,-1,-1)=(2,1-λ,1-λ),a-b=(2,1,1)-(0,-1,-1)=(2,2,2), 因为(a+λb)∥(a-b), 所以==,解得 λ=-1.故选C. 4.已知a=(3,2,-1),b=(2,1,2),则(a-b)·(a+2b)= . 题型一 空间向量的坐标运算 [例1] 在△ABC中,A(2,-5,3),=(4,1,2),=(3,-2,5). (1)求·; (2)若点P在AC上,且=,求点P的坐标. 所以=+=(4,1,2)+(3,-2,5)=(7,-1,7), 则=(-7,1,-7), 所以·=-21-2-35=-58. (2)由(1)知,=(-7,1,-7),因为A(2,-5,3),所以点C的坐标为(9,-6,10). 设O为原点,因为=, 则-=(-), 则=+=(2,-5,3)+(9,-6,10)=(,-,), 所以点P的坐标为(,-,). 空间向量的坐标运算的方法及步骤 (1)由点的坐标求向量坐标:空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定. (2)直接计算问题:首先将空间向量用坐标表示出来,然后代入公式计算. (3)由条件求向量或点的坐标:把所求向量或点的坐标设出来,通过解方程(组),求出其坐标. [变式训练] 已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则的坐标是 . 则=(x-1,y-2,z-1),=(-1-x,3-y,4-z), 由=2, 即(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z), 可得x=-,y=,z=3, 所以P(-,,3), 故=(,-,-2). 题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示及运用 [例2] (苏教版选择性必修第二册P23例3)已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10)和 D(8,4,9),求证:四边形ABCD是梯形. 同理=(2,-4,1),=(10,1,8),=(8,5,7). 由=2,可知∥. 考察向量与,由于≠,故不存在实数t,使得=t,即与不共线,所以四边形ABCD是梯形. 向量平行与垂直问题的类型及解法 (1)平行与垂直的判断 ①应用向量判断两直线平行,只需要判断两直线的方向向量是否共线; ②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两方向向量的数量积是否为0. (2)利用平行与垂直求参数 ①适当引入参数(比如向量a,b(b≠0)平行,可设a=λb),建立关于参数的方程(组); ②选择坐标形式,以达到简化运算的目的. [变式训练] 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 ... ... 