5.3.2 诱导公式 教学设计

§5.3.2诱导公式 1.教学目标 （1）从三角函数的定义出发，借助与单位圆的对称性，推导的正弦、余弦和正切，发展直观想象、逻辑推理素养。 （2）通过分析公式五、公式六之间的关系，以及公式一～公式六之间的联系，形成诱导公式的整体架构，能利用诱导公式进行三角函数式的化简、求值与证明，发展数学运算的素养。 2.教学重点与难点 教学重点：诱导公式五、六的探究。 教学难点：终边关于直线y＝x对称的两个角之间关系。 3.教学过程设计 环节一 复习回顾，引入问题 问题1 上一节课我们研究了公式二～公式四，你能说说我们是如何得到这些公式的吗？ 师生活动 由学生发言，回顾公式二～公式四的研究内容、过程和方法，教师适时补充完善。 追问 两个角的终边除了关于原点、x轴和y轴对称外，你认为还有哪些对称关系值得研究？你打算怎样研究？ 师生活动 学生思考、讨论后，确定值得研究的问题：两个角的终边关于y＝x，或y＝-x对称时，这两个角的三角函数之间的关系。研究方法与前面的类似。 ［设计意图］通过回顾公式二～公式四的研究内容、过程和方法，为研究公式五、公式六做好思想方法的准备；通过追问，引导学生发现和提出值得研究的问题，培养发现和提出问题的能力。 环节二 探究得出公式五、公式六 问题2 你能类比公式二～公式四的研究过程，探究终边关于直线y＝x对称的两个角的三角函数的关系吗？ 师生活动 先由学生独立思考，得出思路和方法，然后展开自主探究。 探究的内容：（1）设角a的终边为OP，角的终边为OP4，OP4与OP关于直线y＝x对称，规么角与角a有怎样的数量关系？ （2）角与角a的三角函数之间有怎样的关系？ 探究方法：由三角函数的定义，借助单位圆的对称性。得出有关结论。具体探究时，如图所示，先在直角坐标系中画一个单位圆，作出任意角a的终边OP，且P为终边与单位圆的交点，再作点P关于直线y＝x的对称点P1，接下来就是利用该图研究上面的两个问题。 学生先自主探究，再小组交流，最后各小组选代表展示，师生评价，完善研究结果，得出公式五。 ［设计意图］通过问题引导、师生互动交流，在明确探究的问题和方法的基础上，放手让学生自主探究，在推导出公式五的过程中，发展直观想象、逻辑推理等素养。 问题3 在探究公式二～公式五的过程中，都是将点P作了一次对称变换，如果对点P连续作两次对称变换，又能得到三角函数的哪些关系式呢？我们不妨在图中，作P4关于y轴的对称点P3，如图所示，你能得到什么结论？ 师生活动 由学生根据公式四的探究过程，自主探究得出以OP5；为终边的角θ与角a之间的关系为θ＝，进而得出公式六 ［设计意图］基于公式五的背景增加新的研究条件，提出探索性问题，有利于培养学生发现和提出问题的能力。这里的重点是启发学生利用前面的学习经验，通过适当的几何变换、坐标变换，得出角θ与角α的数量关系，以及点P和点P5坐标之间的关系，让学生进一步熟悉研究的一般方法。 追问1 前面我们通过两次对称变换，将a先变换到，再变换到，进而得到公式六。能不能从代数变换角度，利用已有公式直接推出公式六？ 师生活动 由学生独立思考，得出 sin()=sin[π-()]=sin()=cosa; cos()=cos[π-()]=-cos()=-sina. 教师可以进一步指出，在三角函数恒等变形中，对角的变形是需要经常使用的技巧。 追问2 能否直接通过角a的终边与角的终边的关系，得出相应的公式？ 师生活动 先由学生根据已有的经验，画出图形，得出两个角的终边与单位圆交点坐标之间的关系，从而得到公式。 追问3 你能从公式六出发推导公式五吗？ 师生活动 由学生独立完成。 ［设计意图］通过上述追问，引导学生用不同方法推导公式，从不同角度认识公式，建立公式之间更紧密的联系，从而提升对诱导公式整体性的认识，为灵活运用公式 ... ...