专题五　解析几何 微突破3　圆锥曲线中非对称韦达定理的应用（课件 学案 练习） 2026届高中数学（通用版）二轮专题复习

微突破3　圆锥曲线中非对称韦达定理的应用 （时间：45分钟，满分：52分） 解答题（共52分） 1.（10分）设双曲线C：－y2＝1（a＞0）与直线l：x＋y＝1相交于不同的点A，B，直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值. 2.（10分）已知椭圆＋＝1，设P（0，1），A，B为椭圆的左、右顶点，过A作斜率为k1的直线交椭圆于点E，连接EP并延长交椭圆于点F，记直线BF的斜率为k2，若k1＝3k2，求直线EF的方程. 3.（15分）已知圆C：（x＋1）2＋y2＝8，圆心C（－1，0），定点A（1，0），M为圆上动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足＝2，·＝0，点N的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的方程； （2）过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G，H（点G在点F，H之间），且满足＝λ，求λ的取值范围. 4.（17分）双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上一点D（6，）到左、右焦点的距离之差为6. （1）求双曲线C的方程； （2）已知A（－3，0），B（3，0），过点（5，0）的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线MA与NB交于点P，试问点P到直线x＝－2的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 微突破3　圆锥曲线中非对称韦达定理的应用 1.解：易得P（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 故＝（x1，y1－1），＝（x2，y2－1）. 由C与l相交于两个不同的点， 联立得（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0， 得x1＋x2＝－，x1x2＝－且1－a2≠0， 由＝知，（x1，y1－1）＝（x2，y2－1），则有x1＝x2，即＝， 取倒数相加，得＋＝＋， 则＋＋2＝＝， 将x1＋x2＝－，x1x2＝－代入上式得－＝，解得a＝. 2.解：由题意，直线EF的斜率显然存在，设直线EF的方程为y＝kx＋1，E（x1，y1），F（x2，y2），由得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0， 由题意知Δ＞0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 因为k1＝3k2，所以＝， 将y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1代入，得＝， 化简得2kx1x2＋（2k＋3）x1＋（6k－1）x2＋8＝0　（*）， 又因为2kx1x2＝－＝x1＋x2， 所以x2＝－－x1， 把其代入（*）式得（1－k）（x1＋）＝0， 所以1－k＝0或x1＋＝0（舍去），所以k＝1，所以直线EF的方程为y＝x＋1. 3.解：（1）∵＝2，·＝0. ∴｜NA｜＝｜NM｜. 又∵｜CN｜＋｜NM｜＝2， ∴｜CN｜＋｜AN｜＝2＞2＝｜AC｜， ∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a＝2，焦距2c＝2，即a＝，c＝1，则b2＝1. ∴曲线E的方程为＋y2＝1. （2）当直线GH斜率存在时，设直线GH的方程为y＝kx＋2，k≠0， 代入椭圆方程＋y2＝1，得（＋k2）x2＋4kx＋3＝0， 由Δ＞0得k2＞. 设G（x1，y1），H（x2，y2），则x1＋x2＝＝　①， x1x2＝＝　②， ∵＝λ， ∴（x1，y1－2）＝λ（x2，y2－2）， ∴x1＝λx2，∴λ＝， 得，λ＋＋2＝＝. ∵k2＞，∴4＜＜， ∴4＜λ＋＋2＜， 解得＜λ＜3且λ≠1， ∵点G在点F，H之间， ∴0＜λ＜1，∴＜λ＜1； 当直线HG斜率不存在时，直线方程为x＝0，＝，λ＝. 综上，≤λ＜1，λ的取值范围为［，1）. 4.解：（1）依题意可得解得 故双曲线C的方程为－y2＝1. （2）由题意可得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋5， 联立 消去x，得（m2－9）y2＋10my＋16＝0， 则m2－9≠0，Δ＝（10m）2－4×16（m2－9）＝36（m2＋16）＞0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1＋y2＝，y1y2＝， 又A（－3，0），B（3，0）， 直线AM：y＝（x＋3）， 直线BN：y＝（x－3）， 联立两式相除，得＝＝＝＝＝＝＝－4， 即＝－4，解得x＝， 所以点P在定直线x＝上， 因为直线x＝与直线x＝－2之间的距离为＋2＝， 所以点P到直线x＝－2的距离为定值，且定值为. 2 / 2微突破3　圆锥曲线中非对称韦达定理的应用 【备考指南】　在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，得到一个一元二次方程，往往 ... ...