专题六　概率与统计 微突破2　概率中的数列特征——马尔科夫链（课件 学案 练习） 2026届高中数学（通用版）二轮专题复习

微突破2　概率中的数列特征———马尔科夫链 （时间：45分钟，满分：63分） 一、单项选择题（5分） 1.（2025·河南九师联盟二模）张某经营A、B两家公司，张某随机到两家公司指导与管理，已知他第1个月去A公司的概率是.如果本月去A公司，那么下个月继续去A公司的概率为；如果本月去B公司，那么下个月去A公司的概率为，如此往复.设张某第n个月去A公司的概率为Pn，则P10＝（　　） A.＋×（－）9 B.＋×（－）9 C.＋×（）10 D.＋×（－）10 二、多项选择题（6分） 2.（2025·浙江金华一模）从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点A出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走n次时恰好为第一次回到A点的概率为Pn（n∈N*），恰好为第二次回到A点的概率为Qn（n∈N*），则（　　） A.P3＝ B.Q4＝ C.n≥2时，为定值 D.数列{Qn}的最大项为 三、填空题（5分） 3.一个书包中有标号为“1，1，2，2，3，3，…，n，n”的2n张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回，如果他拿出一张与已拿出的卡片中有相同标号的卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为Pn，则P3＝　　　　，P7＝　　　　. 四、解答题（共47分） 4.（15分）掷一枚质地均匀的正方体骰子（6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），得分规则如下：若出现的数字为1，则得1分；若出现的数字为2或3，则得2分；若出现的数字为4或5或6，则得3分. （1）记X为连续掷这枚骰子2次的总得分，求X的数学期望； （2）现在将得分规则变更如下：若出现的数字为1或2，则得2分，其他情况都得1分.反复掷这枚骰子，设总得分为n（n∈N*）的概率为Pn，证明：数列{Pn＋1－Pn}为等比数列. 5.（15分）（2025·安徽江淮十校联考）2023年华为盘古气象大模型实现秒级预测全球天气，突破了传统NWP算力瓶颈，代表了AI在科学计算（AI for Science）的重要突破，推动了全球气象行业的智能化升级.未来天气预报或将进入“分钟级、街道级”的精准时代.现某城市根据气象数据有两种天气状态：晴天（S）和雨天（R），变化规律预测如下： ①如果今天是晴天，明天有80％的概率仍然是晴天，20％的概率会下雨； ②如果今天是雨天，明天有60％的概率仍然是雨天，40％的概率会转晴. 假设今天天气是晴天，回答以下问题： （1）从明天开始接下来的三天中，天气是晴天的天数用随机变量X表示，求X的分布列和数学期望； （2）长期来看，晴天和雨天的概率分布会趋于稳定，从明天开始接下来的第n天预测是晴天的概率用Pn表示，求Pn的表达式及Pn趋于的稳定值. 6.（17分）（2025·湖北武汉模拟）已知常数p∈（0，1），在成功的概率为p的伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验次数，X的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布. （1）对于正整数k，求P（X＝k），并根据E（X）＝kP（X＝k）＝（kP（X＝k）），求E（X）； （2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为p的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为E2，现提供一种求E2的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是E2，即总的试验次数为（E2＋1）；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为（E2＋2）. ①求E2； ②记首次出现连续n次成功时所需的试验次数的期望为En，求En. 微突破2　概率中的数列特征———马尔科夫链 1.A　设An表示第n个月去A公司，则Pn＝P（An），P（）＝1－Pn，根据题意，得P（An＋1｜An）＝，P（An＋1｜）＝，由全概率公式，得P（An ... ...