人教版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用5.3.1函数的单调性课件(共28张PPT)

(课件网) 第五章　一元函数的导数及其应用 5.3　导数在研究函数中的应用 5.3.1　函数的单调性 　　研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势（走高或走低）以及股票 价格的变化范围（封顶或保底）.如图，从股票走势曲线图来看，股票有升 有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性. 问题　函数的单调性与导数有什么关系？ 知识点一　函数的单调性与导数的关系 定义在区间（a，b）内的函数y＝f（x）： f'（x）的正负 f（x）的单调性 f'（x）＞0 单调递 f'（x）＜0 单调递 思考：在区间（a，b）内，若f'（x）＞0，则f（x）在此区间上单调递 增，反之也成立吗？ 不一定成立.比如函数f（x）＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数 等于零.也就是说f'（x）＞0是f（x）在某个区间上单调递增的充分不必 要条件. 增　 减　 教材知识整理与归纳 知识点二　函数值变化快慢与导数的关系 设函数y＝f（x），在区间（a，b）上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 比较“ ”（向上或向下） 越小 比较“ ”（向上或向下） 越快　 陡峭　 越慢　 平缓　 × × √ √ A. 先增后减 B. 先减后增 C. 单调递增 D. 单调递减 解析：易知f'（x）＝－ sin x－1，x∈（0，π）， ∴f'（x）＜0， ∴f（x）＝ cos x－x在（0，π）上单调递减. D 3. 函数f（x）＝ln x－x的单调递增区间是 . （0，1）　 　函数图象与导函数图象的关系 【例1】已知导函数f'（x）的下列信息：当x＜0或x＞7时，f'（x）＞0；当 0＜x＜7时，f'（x）＜0；当x＝0或x＝7时，f'（x）＝0.试画出函数f （x）的大致图象. 课堂互动探究与提升 解：当x＜0或x＞7时，f'（x）＞0，可知函数f（x）在 区间（－∞，0）和（7，＋∞）上都单调递增；当0＜x＜ 7时，f'（x）＜0，可知函数f（x）在区间（0，7）上单 调递减；当x＝0或x＝7时，f'（x）＝0，这两个点比较特 殊，我们称它们为“稳定点”.综上，函数f（x）的大致 形状如图所示. 归纳总结：研究函数图象与导函数图象之间关系的方法 导函数f'（x）图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f（x） 图象上升部分对应的区间（单调递增区间），导函数f'（x）图象在x轴下方 时对应的自变量的取值区间为原函数f（x）图象下降部分对应的区间（单调 递减区间）. C A B C D 解析：由导函数的图象可知，当x＜0时，f'（x）＞0，即函数f（x）单调 递增；当0＜x＜x1时，f'（x）＜0，即函数f（x）单调递减；当x＞x1时， f'（x）＞0，即函数f（x）单调递增.结合选项易知C正确. 　利用导数判断函数的单调性 【例2】利用导数判断下列函数的单调性： （3）f（x）＝x－ex（x＞0）. 解：（3）因为f（x）＝x－ex，x∈（0，＋∞）， 所以f'（x）＝1－ex＜0， 所以函数f（x）＝x－ex在（0，＋∞）上为减函数. 归纳总结：利用导数判断函数的单调性的策略 利用导数证明或判断一个可导函数在给定区间内的单调性，实质上就是判断 f'（x）的正负或证明不等式f'（x）≥0（或f'（x）≤0）在给定区间内恒成 立.一般步骤为：①求导数f'（x）；②判断f'（x）的符号；③得出结论. 　利用导数求函数的单调区间 【例3】求下列函数的单调区间： （1）f（x）＝x3－4x2＋4x－1； x 2 （2，＋∞） f'（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） 单调递增 单调递减 f（2）＝－1 单调递增 x （－∞，2） （2，3） 3 （3，＋∞） f'（x） － － 0 ＋ f（x） 单调递减 单调递减 f（3）＝e3 单调递增 所以函数f（x）的单调递增区间为（3，＋∞），单调递减区间为（－∞， 2）和（2，3）. 求下列函数的单调区间： （1）f（x）＝2x3＋3x2－36x； 解：（1）f'（x）＝6x2＋6x－36＝6（x＋3）（x－2）. 令f'（x）＝0，解得 ... ...