第四章专题01 因式分解【知识串讲+十三大考点】-2025-2026学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）（原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题01 因式分解 （一）因式分解的定义 （1）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． （2）因式分解的定义注意事项： ①分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； ②因式分解必须是恒等变形； ③因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． ④因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． （二）因式分解的方法 （1）提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； 【提公因式法的注意事项】 ①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。 ②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 ③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。 ④查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。 （2）公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b） ② 完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 （3）十字相乘：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) （三）因式分解的步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 考点1：因式分解的定义 典例1：下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】下列等式中，从左到右的变化是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． 【变式3】观察下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中是因式分解的是 （填序号）． 考点2：由因式分解求字母 典例2：若，则的值是( ) A． B． C． D． 【变式1】若，那么k的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】已知二次三项式因式分解的结果是，则 ． 【变式3】多项式因式分解的结果是，则 ， 考点3：因式分解的几何证明 典例3：通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ） A． B． C． D． 【变式1】将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（）可得等式：，将图（）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（ ） A． B． C． D． 【变式2】有足够多如图的长方形和正方形的卡片，如果分别选取1号、2号、3号卡片各1张、2张、3张，可不重叠、无缝隙拼成右图的长方形，则运用拼图前后面积之间的关系可以写出一个因式分解的式子： ． 【变式3】如图，四边形ABCD是一个长方形，根据图中所标注的线段长度表示长方形ABCD的面积，可得到的表示一个多项式因式分解的代数恒等式为 ． 考点4：因式分解———提公因式 典例4：因式分解： (1)； (2)； 【变式1】因式分解： 【变式2】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点5：因式分解———平方差公式 典例5：在实数范围内分解因式：． 丽华的解题过程如下： 解：原式． 请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，请把正确的解题过程写出来． 【变式1】分解因式： (1)； (2)； 【变式2】阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原 ... ...