第一章专题03 乘法公式【知识串讲+十二大考点】-2025-2026学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）（原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题03 乘法公式 （一）平方差公式 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 【运用平方差公式注意事项】 ①对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式． ②公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误． （二）完全平方公式 完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a－b）2＝a2－2ab＋b2 【扩展】 扩展一(公式变化)： + +2ab 扩展二： + = 2(+ ) - = 4ab 考点1：平方差公式 典例1：下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，能用平方差公式的式子特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．根据平方差公式的结构特点判断即可． 【详解】解：A、，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、没有完全相同的项，也没有互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； 故选：D． 【变式1】（ ），括号内应填（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键． 逆用平方差公式即可求解． 【详解】解：， 括号内应填， 故选：C． 【变式2】 计算： （1）（2024上海） ； （2） ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查平方差公式，解答的关键是掌握平方差公式． （1）变形后利用平方差公式进行运算即可； （2）变形后利用平方差公式进行运算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：． （2） ． 故答案为：． 【变式3】计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，乘法公式； （1）根据平方差公式进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解； （3）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ； 故答案为：． （2） ； 故答案为：． （3） 故答案为：． 考点2：平方差公式的简单应用 典例2：对任意整数n，整式的值都能（ ） A．被10整除 B．被9整除 C．被8整除 D．被7整除 【答案】A 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式、整式的混合运算等知识点，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先利用平方差公式、整式的混合运算法则化简，然后化简后的式子中只要含有因数即可解答． 【详解】解： ． ∵n为整数， ∴能被10整除． 故选：A． 【变式1】如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式，设较小的奇数为，较大的为，根据题意列出算式，求出解判断即可，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 【详解】解：设较小的奇数为，较大的为， 根据题意得：， 、若，即，不为整数，不符合题意； 、若，即，符合题意； 、若，即，不为整数，不符合题意； 若，即，不为整数，不符合题意； 故选：． 【变式2】 定义：若一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“师一优数”．例如：，，56就是一个“师一优数”．若将“师一优数”按从小到大 ... ...