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课件网) 20.1 勾股定理及其应用 （第1课时） 人教版 数学 八年级 下册 导入新知 直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久.在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦.根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五. 勾 股 弦 1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理. 2. 能用勾股定理解决一些简单问题. 学习目标 3. 通过用多种方法证明勾股定理，培养学生发散思维能力. 探究新知 知识点 1 勾股定理的认识与证明 如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形,所得正方形的面积分别为9，16, 25, 且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足:两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 3 4 5 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系 （图中每个小方格是1个单位面积） A中含有____个小方格，即 A的面积是 个单位面积． B的面积是 个单位面积． C的面积是 个单位面积． 9 9 18 9 A B C 图1 结论：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是: SA+SB=SC 【讨论】1.三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？ 探究新知 【讨论】2. SA+SB=SC在图2中还成立吗？ A B C 图2 结论：仍然成立. A的面积是 个单位面积． B的面积是 个单位面积． C的面积是 个单位面积． 34 25 9 （图中每个小方格是1个单位面积） 探究新知 你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流． A B C 问题2 式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗 问题4 那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是: a b c 至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC . a2 + b2 = c2 a2 + b2 = c2 问题1 去掉网格结论会改变吗？ 问题3 去掉正方形结论会改变吗？ 探究新知 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2. a b c 猜想： 拼图证明 是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚. 这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的． 探究新知 以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗？试试看. 赵爽拼图证明法： c 图1 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 图2 c 小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方 形，拼成一个新的正方形. 探究新知 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 b a 〓 M N P 剪、拼过程展示： 探究新知 “赵爽弦图” 黄实 朱实 朱实 朱实 朱实 c a b 探究新知 ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形， 证明： ∴. 毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. 探究新知 a a a a b b b b c c c c ∴a2+b2+2ab=c2+2ab. ∴a2 +b2=c2. 证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4ab+c2 =c2+2ab， 探究新知 a a b b c c ∴a2 + b2 = c2. 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 证明： 探究新知 ∵S梯形， S梯形， 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. a b c 勾 股 弦 a b c 表示为：Rt△ABC中，∠C=90°, 则. 探究新知 A B C A B C 勾股定理给出了直 ... ...
